演算法入門，其實可以像讀小說一樣有趣

本文來源 | 《演算法圖解：像小說一樣有趣的演算法入門書》

作者 | Aditya Bhargava

責編 | 林瑟

我一個非程式設計師，買了這本《演算法圖解》的書在看，剛拆快遞後翻了一會，被我老闆給看到了，被她強行借走去翻了，說很有意思，翻了幾天才還我。。。如果你是下面中任何一種型別的同學，請繼續往下看：

• 業餘程式設計師

• 程式設計培訓班學員

• 需要重溫演算法的計算機專業畢業生

• 對程式設計感興趣的物理或數學等專業畢業生

演算法是一組完成任務的指令。任何程式碼片段都可視為演算法，但這裡我們只介紹比較有趣的部分，比如，二分查詢。

假設要在電話簿中找一個名字以 K 打頭的人，現在誰還用電話簿！可以從頭開始翻頁，直到進入以 K 打頭的部分。但你很可能不這樣做，而是從中間開始，因為你知道以 K 打頭的名字在電話簿中間。

現在假設你登入 Facebook。當你這樣做時，Facebook 必須核實你是否有其網站的賬戶，因此必須在其資料庫中查詢你的使用者名稱。如果你的使用者名稱為 karlmageddon，Facebook 可從以 A 打頭的部分開始查詢，但更合乎邏輯的做法是從中間開始查詢。

這是一個查詢問題，在前述所有情況下，都可使用同一種演算法來解決問題，這種演算法就是二分查詢。

二分查詢是一種演算法，其輸入是一個有序的元素列表（必須有序的原因稍後解釋）。如果要查詢的元素包含在列表中，二分查詢返回其位置；否則返回null。

下圖是一個例子。

下面的示例說明了二分查詢的工作原理。我隨便想一個1～100的數字。

你的目標是以最少的次數猜到這個數字。你每次猜測後，我會說小了、大了或對了。

假設你從1開始依次往上猜，猜測過程會是這樣。

這是簡單查詢，更準確的說法是傻找。每次猜測都只能排除一個數字。如果我想的數字是 99，你得猜 99 次才能猜到！

01

更佳的查詢方式

下面是一種更佳的猜法。從 50 開始。

小了，但排除了一半的數字！至此，你知道 1～50 都小了。接下來，你猜75。

大了，那餘下的數字又排除了一半！使用二分查詢時，你猜測的是中間的數字，從而每次都將餘下的數字排除一半。接下來，你猜 63（50 和 75 中間的數字）。

這就是二分查詢，你學習了第一種演算法！每次猜測排除的數字個數如下。

不管我心裡想的是哪個數字，你在 7 次之內都能猜到，因為每次猜測都將排除很多數字！

假設你要在字典中查詢一個單詞，而該字典包含 240000 個單詞，你認為每種查詢最多需要多少步？

 

如果要查詢的單詞位於字典末尾，使用簡單查詢將需要 240000 步。使用二分查詢時，每次排除一半單詞，直到最後只剩下一個單詞。

因此，使用二分查詢只需 18 步——少多了！一般而言，對於包含 n 個元素的列表，用二分查詢最多需要 log2n 步，而簡單查詢最多需要 n 步。

02

對數

你可能不記得什麼是對數了，但很可能記得什麼是冪。log10100相當於問“將多少個10相乘的結果為100”。答案是兩個：10 × 10 = 100。因此，log10100 = 2。對數運算是冪運算的逆運算。

對數是冪運算的逆運算

本文使用大O表示法（稍後介紹）討論執行時間時，log 指的都是 log2。使用簡單查詢法查詢元素時，在最糟情況下需要檢視每個元素。

而使用二分查詢時，最多需要檢查 log n個元素。如果列表包含 8 個元素，你最多需要檢查 3 個元素，因為 log 8 = 3（23 = 8）。如果列表包含1024個元素，你最多需要檢查10個元素，因為 log 1024 = 10（210 =1024）。

下面來看看如何編寫執行二分查詢的 Python 程式碼。你只需知道，可將一系列元素儲存在一系列相鄰的桶（bucket），即陣列中。這些桶從0開始編號：第一個桶的位置為#0，第二個桶為#1，第三個桶為#2，以此類推。

low = 0high = len(list) - 1

你每次都檢查中間的元素。

mid = (low + high) / 2  ←---如果(low + high)不是偶數，Python自動將mid向下取整。guess = list[mid]

如果猜的數字小了，就相應地修改low。

if guess < item:
  low = mid + 1

如果猜的數字大了，就修改high。完整的程式碼如下。

def binary_search(list, item):
  low = 0    （以下2行）low和high用於跟蹤要在其中查詢的列表部分
  high = len(list)—1  

  while low <= high:  ←-------------只要範圍沒有縮小到只包含一個元素，
    mid = (low + high) / 2  ←-------------就檢查中間的元素
    guess = list[mid]    if guess == item:  ←-------------找到了元素      return mid    if guess > item:  ←-------------猜的數字大了
      high = mid - 1
    else:  ←---------------------------猜的數字小了
      low = mid + 1
  return None  ←--------------------沒有指定的元素

my_list = [1, 3, 5, 7, 9]  ←------------來測試一下！print binary_search(my_list, 3) # => 1  ←--------------------別忘了索引從0開始，第二個位置的索引為1print binary_search(my_list, -1) # => None  ←--------------------在Python中，None表示空，它意味著沒有找到指定的元素

03

電腦科學領域著名的旅行商問題

下面就是一個執行時間極長的演算法。這個演算法要解決的是旅行商問題，其計算時間增加得非常快，而有些非常聰明的人都認為沒有改進空間。

有一位旅行商，他需要前往5個城市。

這位旅行商（姑且稱之為 Opus 吧）要前往這5個城市，同時要確保旅程最短，為此，可考慮前往這些城市的各種可能順序。

若按旅程最短的路線來選，5 個城市有 120 種不同的排列方式。因此，解決這個問題需要執行 120 次操作。涉及 6 個城市時，需要執行 720 次操作，依次遞增！

推而廣之，涉及 n 個城市時，需要執行 n!（n 的階乘）次操作才能計算出結果。因此執行時間為 O(n!)，即階乘時間。

這種演算法很糟糕！這是電腦科學領域待解的問題之一。對於這個問題，目前還沒有找到更快的演算法，有些很聰明的人認為這個問題根本就沒有更巧妙的演算法。

面對這個問題，我們能做的只是去找出近似答案，高水平的讀者可以在《演算法圖解：像小說一樣有趣的演算法入門書》中研究一下二叉樹！！

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