上一次，我介紹了貝葉斯推斷的原理，今天講如何將它用於垃圾郵件過濾。
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貝葉斯推斷及其網際網路應用
作者：阮一峰
（接上文）
七、什麼是貝葉斯過濾器？
垃圾郵件是一種令人頭痛的頑症，困擾著所有的網際網路使用者。
正確識別垃圾郵件的技術難度非常大。傳統的垃圾郵件過濾方法，主要有"關鍵詞法"和"校驗碼法"等。前者的過濾依據是特定的詞語；後者則是計算郵件文字的校驗碼，再與已知的垃圾郵件進行對比。它們的識別效果都不理想，而且很容易規避。
2002年，Paul Graham提出使用"貝葉斯推斷"過濾垃圾郵件。他說，這樣做的效果，好得不可思議。1000封垃圾郵件可以過濾掉995封，且沒有一個誤判。
另外，這種過濾器還具有自我學習的功能，會根據新收到的郵件，不斷調整。收到的垃圾郵件越多，它的準確率就越高。
八、建立歷史資料庫
貝葉斯過濾器是一種統計學過濾器，建立在已有的統計結果之上。所以，我們必須預先提供兩組已經識別好的郵件，一組是正常郵件，另一組是垃圾郵件。
我們用這兩組郵件，對過濾器進行"訓練"。這兩組郵件的規模越大，訓練效果就越好。Paul Graham使用的郵件規模，是正常郵件和垃圾郵件各4000封。
"訓練"過程很簡單。首先，解析所有郵件，提取每一個詞。然後，計算每個詞語在正常郵件和垃圾郵件中的出現頻率。比如，我們假定"sex"這個詞，在4000封垃圾郵件中，有200封包含這個詞，那麼它的出現頻率就是5%；而在4000封正常郵件中，只有2封包含這個詞，那麼出現頻率就是0.05%。（【註釋】如果某個詞只出現在垃圾郵件中，Paul Graham就假定，它在正常郵件的出現頻率是1%，反之亦然。這樣做是為了避免概率為0。隨著郵件數量的增加，計算結果會自動調整。）
有了這個初步的統計結果，過濾器就可以投入使用了。
九、貝葉斯過濾器的使用過程
現在，我們收到了一封新郵件。在未經統計分析之前，我們假定它是垃圾郵件的概率為50%。（【註釋】有研究表明，使用者收到的電子郵件中，80%是垃圾郵件。但是，這裡仍然假定垃圾郵件的"先驗概率"為50%。）
我們用S表示垃圾郵件（spam），H表示正常郵件（healthy）。因此，P(S)和P(H)的先驗概率，都是50%。
然後，對這封郵件進行解析，發現其中包含了sex這個詞，請問這封郵件屬於垃圾郵件的概率有多高？
我們用W表示"sex"這個詞，那麼問題就變成了如何計算P(S|W)的值，即在某個詞語（W）已經存在的條件下，垃圾郵件（S）的概率有多大。
根據條件概率公式，馬上可以寫出
公式中，P(W|S)和P(W|H)的含義是，這個詞語在垃圾郵件和正常郵件中，分別出現的概率。這兩個值可以從歷史資料庫中得到，對sex這個詞來說，上文假定它們分別等於5%和0.05%。另外，P(S)和P(H)的值，前面說過都等於50%。所以，馬上可以計算P(S|W)的值：
因此，這封新郵件是垃圾郵件的概率等於99%。這說明，sex這個詞的推斷能力很強，將50%的"先驗概率"一下子提高到了99%的"後驗概率"。
十、聯合概率的計算
做完上面一步，請問我們能否得出結論，這封新郵件就是垃圾郵件？
回答是不能。因為一封郵件包含很多詞語，一些詞語（比如sex）說這是垃圾郵件，另一些說這不是。你怎麼知道以哪個詞為準？
Paul Graham的做法是，選出這封信中P(S|W)最高的15個詞，計算它們的聯合概率。（【註釋】如果有的詞是第一次出現，無法計算P(S|W)，Paul Graham就假定這個值等於0.4。因為垃圾郵件用的往往都是某些固定的詞語，所以如果你從來沒見過某個詞，它多半是一個正常的詞。）
所謂聯合概率，就是指在多個事件發生的情況下，另一個事件發生概率有多大。比如，已知W1和W2是兩個不同的詞語，它們都出現在某封電子郵件之中，那麼這封郵件是垃圾郵件的概率，就是聯合概率。
在已知W1和W2的情況下，無非就是兩種結果：垃圾郵件（事件E1）或正常郵件（事件E2）。
其中，W1、W2和垃圾郵件的概率分別如下：
如果假定所有事件都是獨立事件（【註釋】嚴格地說，這個假定不成立，但是這裡可以忽略），那麼就可以計算P(E1)和P(E2)：
又由於在W1和W2已經發生的情況下，垃圾郵件的概率等於下面的式子：
即
將P(S)等於0.5代入，得到
將P(S|W1)記為P1，P(S|W2)記為P2，公式就變成
這就是聯合概率的計算公式。如果你不是很理解，點選這裡檢視更多的解釋。
十一、最終的計算公式
將上面的公式擴充套件到15個詞的情況，就得到了最終的概率計算公式：
一封郵件是不是垃圾郵件，就用這個式子進行計算。這時我們還需要一個用於比較的門檻值。Paul Graham的門檻值是0.9，概率大於0.9，表示15個詞聯合認定，這封郵件有90%以上的可能屬於垃圾郵件；概率小於0.9，就表示是正常郵件。
有了這個公式以後，一封正常的信件即使出現sex這個詞，也不會被認定為垃圾郵件了。
（完）