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\(P(A∩B)\) 表示事件 \(𝐴\) 和事件 \(𝐵\) 同時發生的機率
條件機率：
條件機率是指事件 \(A\) 在另外一個事件 \(B\) 已經發生條件下的發生機率。條件機率表示為：\(P(A|B)\)，讀作“在B的條件下A的機率”。——《百度百科》
條件機率：
\[P(A|B) = \frac{P(A∩B)}{P(B)})
\]
特別的，如果\(A\) 和 \(B\) 相互獨立，\(P(A|B)=P(A)\)
貝葉斯公式
對條件機率公式移項可以得到式子：
\[P(A∩B)=P(A|B)\times P(B)
\]
\[P(A∩B)=P(B|A)\times P(A)
\]
因為上面兩個式子都包含 \(P(A∩B)\)，所以進行聯立起來。
\[P(A|B)\times P(B) = P(B|A)\times P(A)
\]
\[P(A|B)=\frac{P(B|A)\times P(A)}{P(B)}
\]
然後上面這個這就是貝葉斯公式，這公式就是用來描述兩個條件機率之間的關係。
注：\(P(A)>0,P(B)>0)\)，\(P(B)\) 的決定因素可能不止與一個事件有關。
全機率公式
如果樣本空間分為了兩兩互斥（互不相同）的 $A_1 …… A_k $，那麼此時：
\[P(B)=\sum_{i=1}^{k} P(B|A_i)\times P(A_{i})
\]
例如樣本空間劃分為了兩個 \(A,A^{'}\)，用全機率公式求出 \(P(B)\)。
\[P(B)=P(B|A)\times P(A)+P(B|A^{'})\times P(A^{'})
\]
這個公式可以用來處理 \(P(B)\) 不好直接計算的情況.
然後將全機率公式代入貝葉斯公式可以得到：
\[P(A_i|B)=\frac{P(B|A_i)\times P(A_i)}{\sum_{j} P(B|A_j)\times P(A_{j}} (1\le i\le k)
\]
例題
有兩種郵件：\(A_1\) 代表垃圾郵件，\(A_2\) 代表使用者郵件。
根據經驗，\(P(A_1)=0.7,P(A_2)=0.3\)。
令 \(B\) 表示該郵件包含免費這一關鍵詞，由歷史郵件得知，\(P(B|A_1)=0.9,P(B|A_2)=0.01\)（機率之和不一定為1）。
問若收到一封新郵件，包含了“免費”這一關鍵字，那麼它是垃圾郵件的機率是多少。
解析：
題目要求的是 \(P(A_1|b)\)
根據條件機率公式：
\[P(A_1|b)=\frac{P(A_1∩B)}{P(B)}
\]
根據貝葉斯公式：
\[P(A_1|b)=\frac{P(B|A_1) P(A_1)}{P(B)}
\]
帶入全機率公式：
\[P(A_1|b)=\frac{P(B|A_1) P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)}
\]
然後帶入已知條件：
\[P(A_1|b)=\frac{0.9\times 0.7}{0.9\times 0.7+0.01\times 0.3}
\]
\[\approx 0.995260663507109004739336492891\%
\]