\(2024.4.2\) CF1336D Yui and Mahjong Set
題意：
初始有一個值域在 \([1,n]\) 的多重整數集 \(S\)，且每個元素重複次數最多為 \(n\)，定義 \(\operatorname{triple}(S)\) 表示 \(S\) 中相同無序三元組數量，\(\operatorname{straight}(S)\) 表示 \(S\) 中連續整數的無序三元組數量，告訴你初始 \(\operatorname{triple}(S)\) 和 \(\operatorname{straight}(S)\)，每次你可以選擇加入一個 \([1,n]\) 內的整數並會返回修改後的兩項權值，要求在不超過 \(n\) 次操作後求出 \(S\)。
\(4\leq n\leq 100\)。
題解：
solution.
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\(2024.4.2\) ABC306Ex Balance Scale
題意：
給一個大小為 \(n\) 的無向圖，可以將一些點合併，求所有合併再將每條邊定向後無環的方案數。
\(1\leq n\leq 17\)，時限 \(3s\)。
題解：
先不考慮合併點，設 \(f_s\) 表示 \(s\) 的匯出子圖定向後無環的方案數。
考慮列舉一個其定向後無環的某個圖的極大入度為 \(0\) 的點集 \(t\)，即將所有 \((u,v)\) 滿足 \(u\in t,v\in s\) 定向為 \(u\rightarrow v\)，那我們首先要保證 \(t\) 為獨立集。
其次我們發現難以去要求其是極大的，所以考慮再將其容斥，顯而易見有獨立集的子集仍為獨立集，又由於 \((\forall s)\sum\limits_{t\subseteq s}[t\neq\emptyset](-1)^{|t|+1}=[s\neq\emptyset]\)，因此容易有 \(f_s=\sum\limits_{t\subseteq s}[t\neq\emptyset][t\text{ 為獨立集}](-1)^{|t|+1}f_{s-t}\)。
然後再考慮合併點操作，也就是把列舉到的 \(t\) 中連通塊縮點即可。
預處理下每個子集中連通塊數量再列舉子集計算即可，時間複雜度 \(O(3^n)\)。
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\(2024.4.3\) 歐貝里斯克的巨神兵
題意：
給一個大小為 \(n\) 的有向圖，求其生成無環子圖數量。
\(1\leq n\leq 17\)，時限 \(4s\)。
題解：
思路同上一題，容易推得轉移方程 \(f_s=\sum\limits_{t\subseteq s}[t\neq\emptyset](-1)^{|t|+1}2^{\operatorname{edges}(t,s-t)}f_{s-t}\)，其中 \(\operatorname{edges}(s,t)=|\{(u,v)|(u\in s)\land(v\in t)\}\cap E|\)，可以在固定 \(s\) 的情況下從小往大從低位轉移，時間複雜度 \(O(3^n)\)。
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\(2024.4.3\) 「PKUSC2018」最大字首和
題意：
求一個序列 \(a\) 任意排列的最大字首和之和。
\(1\leq |a|\leq 20\)。
題解：
首先為了防止計重，當有多個字首和同時為最大時，我們欽定選擇最靠前的。
設 \(b\) 為 \(a\) 的某個排列，\(s\) 是 \(b\) 的字首和。那 \(s_i\) 最大當且僅當 \((\forall x\in [2,i]\cap\mathbb{Z})(s_i-s_{x-1}>0)\land(\forall x\in(i,n]\cap\mathbb{Z})(s_x-s_i\leq0)\)，即 \(b_{\{2,i\}}\) 字尾和全正，\(b_{\{i+1,n\}}\) 字首和全非正。
因此維護 \(f_s\) 為點集為 \(s\) 且字首和全非正的排列數，\(g_s\) 為點集為 \(s\) 且字尾和全正的排列數，\(f\) 列舉排列最後一位、\(g\) 列舉排列第一位，遞推維護即可。最後列舉 \(b_1\) 再列舉 \(b_{\{2,i\}}\) 更新答案即可，時間複雜度 \(O(n2^n)\)。
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\(2024.4.4\) 「清華集訓2014」主旋律
題意：
求一個有向圖 \(G=(V,E)\) 的生成強連通子圖數。
\(1\leq|V|\leq 15\)
題解
設 \(f_s\) 表示 \(s\) 的生成強連通子圖數，答案即為 \(f_{V}\)。
強連通圖等價於縮點後結點個數為 \(1\) 的圖，容斥一下變成計數縮點後結點個數大於 \(1\) 的圖。
類似前文 DAG 計數的思路，列舉縮點後入度為 \(0\) 的強連通分量集合再容斥，考慮到容斥係數的底數是 \(-1\)，次數是強連通分量數加一，於是維護每個點集劃分為奇偶數個的強連通分量，轉移時將前者減去後者再乘上 \(2\) 以起點不在這個入度為 \(0\) 的強連通分量內的邊數次冪即可（因為對剩下的點沒有要求，相關的邊亂選即可）。至於每個點集劃分為奇偶數個的強連通分量方案數，就是欽定最後一次一定選含編號最小的點的強連通分量，胡亂轉移即可。因要列舉子集，所以複雜度 \(O(3^n)\)。
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