今天是情人節。所以我想把今天的冠名留給最可愛的白洲梓醬。也祝各位小情侶節日快樂捏！
ARC125
ARC125D Unique Subsequence
首先我們發現對於不符合的情況，一定存在一處 x->y->z 滿足存在 y0 使得 x->y0->z 且 \(a_y=a_{y_0}\)。於是我們只需要避免這種情況就行。考慮 DP。然後令 \(t_i\) 表示 \(a_i\) 上一次出現位置，那麼 \(f_i\) 可以從滿足 \(j\ge t_i\) 且 \(t_{a_j}=j\) 的位置轉移過來。用一個 BIT 維護轉移即可。
ARC125E Snack
這種很流的問題，可以轉化為最小割之後再貪心。
考慮直接建二分圖網路流模型，然後轉化為最小割。列舉有多少個 snack 與匯直接相連，設其為 \(x\)，那麼此時的最小割即最小的 \(n-x\) 個 \(a_i\) 之和，再加上 \(\sum_i \min(c_i,b_ix)\)。這個就很容易求解了。
ARC125F Tree Degree Subset Sum
首先考慮樹的 deg 有什麼性質：\(\sum d=O(n)\)，且 \(1\) 的個數 \(\ge \max d_i\)。根據前面一個性質得知不同的 \(d\) 有 \(O(\sqrt n)\) 種。這種問個數的問題不是很好處理，所以找是否存在一些連續性。根據後面那個性質，我們可以發現取 \(d'_i=d_i-1\) 那麼對於每一種 \(\sum d\)，合法的 \(x\) （子集大小）連續。於是我們就 DP 這個 \(x\) 的最大與最小值，用多重揹包的單調佇列最佳化即可 \(O(n\sqrt n)\)。
ARC126
ARC126D Pure Straight
考慮狀壓 DP。\(f_{i,s}\) 表示考慮 \([1,i]\)，拼湊出集合 \(s\) 且 \(s\) 內有序，並且考慮到後續 \(U\setminus s\) 的貢獻的方案數。那麼 \(f_{i-1,s}+\min(|s|,k-|s|)\to f_{i,s}\)，並且預處理出 \(p_{s,i}\) 表示 \(i\) 在 \(t\) 中的 rank，那麼有 \(f_{i-1,s\setminus \{a_i\}}+|s|-p_{s,a_i}\to f_{i,s}\)。
ARC126E Infinite Operations
透過模擬十幾個樣例發現答案就是 \(\frac{1}{2}\sum_{a_i<a_j} a_j-a_i\)。於是用平衡樹維護序列即可。
F 是一個比較抽象的數學題。就不做了。
ARC127
ARC127D Sum of Min of Xor
考慮從高位往低位。令 \(W(h,S,T)\) 表示處理目前位為 \(h\)，求解 \(a_{x \in S}\oplus a_{y\in T}\)，且比 \(h\) 高的位滿足 \(a_x\oplus a_y=b_x\oplus b_y\)。於是我們按位考慮。令 \(S_0\) 表示 \(a_{x,h}=b_{x,h}\) 的集合，\(S_1,T_0,T_1\) 同理。那麼對於 \(S_0\oplus T_0\) 和 \(S_1\oplus T_1\) 的貢獻，我們遞迴下去（\(W(h-1,S_i,T_i)\)），而對於 \(S_{0}\oplus T_{1}\) 與 \(S_1\oplus T_0\)，應該取 \(a\) 還是 \(b\) 已經確定了，直接計算答案。仔細分析一下可知總複雜度為 \(O(nw)\)。
ARC127E Priority Queue
考慮我們在確定了最終狀態後如何貪心確定 push 的順序。容易發現我們一定是從小往大 push，於是 push 和 pop 操作應該會形成一些括號匹配。於是我們就能知道每個 pop 操作 pop 出的值的上限，設為 \(b\)。於是我們將 \(b\) 排序之後，\(f(i,j)\) 表示考慮 \([1,i]\) 中有 \(j\) 個數被 pop 了。轉移是容易的。
ARC127F ±AB
本篇最厲害的題。首先如果 \(a+b\le m+1\) 那麼的確啥都可以取。所以只需要考慮 \(a+b>m+1\) 的情況。然後我們發現在這種情況下，我們第一次操作完，每次只有一種操作。即如果第一次取 +a 或 -b（兩種不可能同時能操作），那麼第二次就只能取 -b 或者 +a，且這兩種肯定不能同時取。於是一共只有兩種本質不同的方案。以第一步取 +a 為例子，那麼之後的操作如果成環了那麼就一定與 \(a+b>m+1\) 矛盾。同時兩種取法路徑也不可能有交，否則同樣會成環。於是我們只需要求出能走多少步即可。一開始 \(v\) 要先對 \(a\) 取模。
然後比如我們第一步取 \(+a\)。那麼首先讓 \(v\) 對 \(b\) 取模，並且於是我們令 \(+a\) 的次數為 \(x\)，那麼得到 \(-b\) 的次數為 \(\lfloor\frac{v+xa}{b}\rfloor\)。於是我們要找到最小的 \(x\) 使得得到的數 \((v+xa)\%b\ge m+1-a\)。仔細分析一下，實際上滿足要求的 \((v+xa)\%b=v\%b+xa\%b\)，否則 \(-b\) 後就能繼續 \(+a\)。所以實際上我們即想要求出最小的 \(x\) 使得 \(xa\%b\in[L,R]\)。考慮 \(xa\%b\ge y\) 等價於 \(\lfloor\frac{xa+b-y}{b}\rfloor=\lfloor\frac{xa}{b}\rfloor+1\)。於是我們二分這個 \(x\)，然後類歐計算即可。