支援向量機（三）核函式

筆尖的痕發表於2016-03-04
函式

7 核函式（Kernels）

考慮我們最初在“線性迴歸”中提出的問題，特徵是房子的面積x，這裡的x是實數，結果y是房子的價格。假設我們從樣本點的分佈中看到x和y符合3次曲線，那麼我們希望使用x的三次多項式來逼近這些樣本點。那麼首先需要將特徵x擴充套件到三維clip_image002[6]，然後尋找特徵和結果之間的模型。我們將這種特徵變換稱作特徵對映（feature mapping）。對映函式稱作clip_image004[10]，在這個例子中

clip_image006[6]

我們希望將得到的特徵對映後的特徵應用於SVM分類，而不是最初的特徵。這樣，我們需要將前面clip_image008[4]公式中的內積從clip_image010[16]，對映到clip_image012[42]。

至於為什麼需要對映後的特徵而不是最初的特徵來參與計算，上面提到的（為了更好地擬合）是其中一個原因，另外的一個重要原因是樣例可能存線上性不可分的情況，而將特徵對映到高維空間後，往往就可分了。（在《資料探勘導論》Pang-Ning Tan等人著的《支援向量機》那一章有個很好的例子說明）

將核函式形式化定義，如果原始特徵內積是clip_image014[4]，對映後為clip_image016[6]，那麼定義核函式（Kernel）為

clip_image018[8]

到這裡，我們可以得出結論，如果要實現該節開頭的效果，只需先計算clip_image020[10]，然後計算clip_image022[10]即可，然而這種計算方式是非常低效的。比如最初的特徵是n維的，我們將其對映到clip_image024[6]維，然後再計算，這樣需要clip_image026[6]的時間。那麼我們能不能想辦法減少計算時間呢？

先看一個例子，假設x和z都是n維的，

clip_image028[4]

展開後，得

clip_image030[4]

這個時候發現我們可以只計算原始特徵x和z內積的平方（時間複雜度是O(n)），就等價與計算對映後特徵的內積。也就是說我們不需要花clip_image026[7]時間了。

現在看一下對映函式（n=3時），根據上面的公式，得到

clip_image031[4]

也就是說核函式clip_image033[4]只能在選擇這樣的clip_image004[11]作為對映函式時才能夠等價於對映後特徵的內積。

再看一個核函式

clip_image034[4]

對應的對映函式（n=3時）是

clip_image035[4]

更一般地，核函式clip_image037[4]對應的對映後特徵維度為clip_image039[4]。（求解方法參見http://zhidao.baidu.com/question/16706714.html）。

由於計算的是內積，我們可以想到IR中的餘弦相似度，如果x和z向量夾角越小，那麼核函式值越大，反之，越小。因此，核函式值是clip_image020[11]和clip_image041[4]的相似度。

再看另外一個核函式

clip_image042[6]

這時，如果x和z很相近（clip_image044[6]），那麼核函式值為1，如果x和z相差很大（clip_image046[6]），那麼核函式值約等於0。由於這個函式類似於高斯分佈，因此稱為高斯核函式，也叫做徑向基函式(Radial Basis Function 簡稱RBF)。它能夠把原始特徵對映到無窮維。

既然高斯核函式能夠比較x和z的相似度，並對映到0到1，回想logistic迴歸，sigmoid函式可以，因此還有sigmoid核函式等等。

下面有張圖說明在低維線性不可分時，對映到高維後就可分了，使用高斯核函式。

clip_image048[6]

來自Eric Xing的slides

注意，使用核函式後，怎麼分類新來的樣本呢？線性的時候我們使用SVM學習出w和b，新來樣本x的話，我們使用clip_image050[8]來判斷，如果值大於等於1，那麼是正類，小於等於是負類。在兩者之間，認為無法確定。如果使用了核函式後，clip_image050[9]就變成了clip_image052[6]，是否先要找到clip_image054[8]，然後再預測？答案肯定不是了，找clip_image054[9]很麻煩，回想我們之前說過的

clip_image055[4]

只需將clip_image057[4]替換成clip_image059[6]，然後值的判斷同上。

8 核函式有效性判定

問題：給定一個函式K，我們能否使用K來替代計算clip_image022[11]，也就說，是否能夠找出一個clip_image061[12]，使得對於所有的x和z，都有clip_image018[9]？

比如給出了clip_image063[8]，是否能夠認為K是一個有效的核函式。

下面來解決這個問題，給定m個訓練樣本clip_image065[6]，每一個clip_image067[8]對應一個特徵向量。那麼，我們可以將任意兩個clip_image067[9]和clip_image069[6]帶入K中，計算得到clip_image071[6]。I可以從1到m，j可以從1到m，這樣可以計算出m*m的核函式矩陣（Kernel Matrix）。為了方便，我們將核函式矩陣和clip_image073[10]都使用K來表示。

如果假設K是有效地核函式，那麼根據核函式定義

clip_image075[6]

可見，矩陣K應該是個對稱陣。讓我們得出一個更強的結論，首先使用符號clip_image077[6]來表示對映函式clip_image020[12]的第k維屬性值。那麼對於任意向量z，得

clip_image078[6]

最後一步和前面計算clip_image063[9]時類似。從這個公式我們可以看出，如果K是個有效的核函式（即clip_image073[11]和clip_image080[6]等價），那麼，在訓練集上得到的核函式矩陣K應該是半正定的（clip_image082[6]）

這樣我們得到一個核函式的必要條件：

K是有效的核函式 ==> 核函式矩陣K是對稱半正定的。

可幸的是，這個條件也是充分的，由Mercer定理來表達。

Mercer定理：

如果函式K是clip_image084[26]上的對映（也就是從兩個n維向量對映到實數域）。那麼如果K是一個有效核函式（也稱為Mercer核函式），那麼當且僅當對於訓練樣例clip_image065[7]，其相應的核函式矩陣是對稱半正定的。

Mercer定理表明為了證明K是有效的核函式，那麼我們不用去尋找clip_image061[13]，而只需要在訓練集上求出各個clip_image086[6]，然後判斷矩陣K是否是半正定（使用左上角主子式大於等於零等方法）即可。

許多其他的教科書在Mercer定理證明過程中使用了clip_image088[16]範數和再生希爾伯特空間等概念，但在特徵是n維的情況下，這裡給出的證明是等價的。

核函式不僅僅用在SVM上，但凡在一個模型後演算法中出現了clip_image090[4]，我們都可以常使用clip_image073[12]去替換，這可能能夠很好地改善我們的演算法。

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