Atropos：仍然具有可玩性的狀態共用型組合遊戲

  
    有這樣的一類組合遊戲，對於任一個遊戲局面，遊戲雙方的合法決策都完全一樣，遊戲對戰雙方的唯一區別就是看誰先走。這樣的遊戲叫做Impartial Games。像什麼報數啊，取火柴啊，取石子啊，這些遊戲都屬於Impartial Games；而象棋、圍棋等要分棋子顏色的遊戲則不屬於Impartial Games。共享狀態的遊戲幾乎沒有可玩性，因為遊戲開始前我們就能知道誰贏誰輸（如果雙方均使用最佳策略）。棋局的任一狀態只有兩種，面對這個棋局的人要麼必勝要麼必敗。考慮這樣的一個遞推關係：如果一個狀態是必勝態，那至少有一種走法能走成一個必敗態留給對方；如果一個狀態是必敗態，那它怎麼走都只能走到必勝態。運用這樣的關係，我們可以自底向上推出初始狀態是必勝還是必敗。
    近來有人提出一個名為Atropos的遊戲，它就是一個即使計算機也很難辦的Impartial Game，它能保證這個遊戲仍然具有可玩性。遊戲在一個Sperner三角形上進行，上圖就是一個邊長為7的Sperner三角形。遊戲開始後，雙方依次在白色的圓圈裡塗上紅色、綠色或者藍色，已經塗過顏色的圓圈不能再塗色。另外，只要有可能，所塗的圓圈都必須緊挨著上次對方塗的那個圓圈。誰先塗出三種顏色都有的小三角形，誰就輸掉這場遊戲。

  
    注意這個遊戲是不可能出現平局的。當所有白色圓圈全部塗上了顏色後，至少會出現一個紅綠藍小三角形。為了證明這一點，我們可以在所有的綠色和紅色圓圈中間畫一個箭頭，紅的在箭頭右邊，綠的在箭頭左邊。這些箭頭一定組成了一條一條的路徑，它們既不會交匯也不會分岔。但整個圖的邊界上進來的箭頭有4個，出去的箭頭只有3個，於是至少有一條路徑在裡面走死了，也即迎面碰上了藍色的圓圈。這樣，我們就找到了一個紅綠藍三色都有的小三角形。

    這個遊戲雖然屬於Impartial Games，但它仍然具有可玩性。從直覺上看，這個遊戲中的先手後手幾乎沒有區別，誰也不佔優勢。這篇論文則嚴格證明了，判斷Atropos遊戲的最佳策略屬於PSPACE-complete，這是所有使用多項式空間的問題中最難的一類，所有使用多項式空間的問題都可以（在多項式的時間內）約化到它。這說明，Atropos遊戲沒有什麼很顯然的“決竅”，即使利用計算機也很難確定最優決策。

線上遊戲：http://cs-people.bu.edu/paithan/spernerGame/SpernerGame.html (Java Applet)
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