D-S證據理論學習筆記（一）

李猛哲發表於2015-09-30
筆記

一.D-S證據理論引入
誕生
　　D-S證據理論的誕生：起源於20世紀60年代的哈佛大學數學家A.P. Dempster利用上、下限概率解決多值對映問題，1967年起連續發表一系列論文，標誌著證據理論的正式誕生。　　
形成
  dempster的學生G.shafer對證據理論做了進一步發展，引入信任函式概念，形成了一套“證據”和“組合”來處理不確定性推理的數學方法
  D-S理論是對貝葉斯推理方法推廣，主要是利用概率論中貝葉斯條件概率來進行的，需要知道先驗概率。而D-S證據理論不需要知道先驗概率，能夠很好地表示“不確定”，被廣泛用來處理不確定資料。
　　適用於：資訊融合、專家系統、情報分析、法律案件分析、多屬性決策分析
　　
二.D-S證據理論的基本概念

　 定義1 基本概率分配（BPA）
　 設U為以識別框架，則函式m:2u→[0,1]

m: 2^{u}\rightarrow[0,1]
滿足下列條件：
　 (1)m(ϕ)=0
m(\phi)=0

　 (2)∑A⊂Um(A)=1
\sum_{A\subset U} m(A)=1
時
　 稱m(A)=0
m(A)=0
為A的基本賦值，m(A)=0
m(A)=0
表示對A的信任程度
　 也稱為mass函式。
　
　 定義2 信任函式 （Belief Function）
　 Bel:2u→[0,1]
Bel: 2^{u}\rightarrow[0,1]

　 Bel(A)=∑B⊂Am(B)=1　(∀A⊂U)
Bel(A)=\sum_{B\subset A} m(B)=1　(\forall A\subset U)

　 表示A的全部子集的基本概率分配函式之和
　
　 定義3 似然函式（plausibility Function）
　 pl(A)=1−Bel(A¯¯¯)=∑B⊂Um(B)−∑B⊂A¯m(B)=∑B⋂A≠ϕm(B)
pl(A)=1-Bel(\overline A)=\sum_{B\subset U} m(B)-\sum_{B\subset \overline A} m(B)=\sum_{B\bigcap A \not= \phi} m(B)

　 似然函式表示不否認A的信任度，是所有與A相交的子集的基本概率分配之和。
　
　 定義4 信任區間
　[Bel(A)，pl(A)]表示命題A的信任區間，Bel(A)表示信任函式為下限，pl(A)表示似真函式為 　上限
　舉例：如(0.25,0.85),表示A為真有0.25的信任度，A為假有0.15的信任度，A不確定度為0.6

三.D-S證據理論的組合規則

　ｍ個mass函式的Dempster合成規則
　Dempster合成規則
　其中K稱為歸一化因子，1−K

1-K
即∑A1⋂...⋂An=ϕm1(A1)⋅m2(A2)⋅⋅⋅mn(An)
\sum _{A_1\bigcap...\bigcap A_n=\phi }m_1(A_1)\cdot m_2(A_2)\cdot \cdot \cdot m_n(A_n)
反 　應了證據的衝突程度

四.判決規則

　設存在A1,A2⊂U

A_1,A_2\subset U
,滿足
　m(A1)=max{m(Ai),Ai⊂U}
m(A_1)=max \{ m(A_i),A_i \subset U \}

　m(A2)=max{m(Ai),Ai⊂U且Ai≠A1}
m(A_2)=max \{ m(A_i),A_i \subset U且 A_i\not=A_1 \}

　若有：
　m(A1)−m(A2)>ε1
　m(Θ)<ε2
　m(A1)>m(Θ)
m(A_1)>m(\Theta)

　則A1
A_1
為判決結果，ε1，ε2Θ
\Theta
為不確定集合

五.D-S證據理論存在的問題

　 (一)無法解決證據衝突嚴重和完全衝突的情況
　這裡寫圖片描述
　該識別框架為{Peter，Paul，Mary},基本概率分配函式為m{Peter},m{Paul},m{Mary}
　由D-S證據理論的基本概念和組合規則進行解析
這裡寫圖片描述
這裡寫圖片描述　
這裡寫圖片描述
可以看出雖然在W1，W2目擊中，peter和mary都為0.99，但是存在嚴重的衝突，造成合成之後的Bel函式值為0，這顯然與實際情況不合，更極端的情況如果W1中m{peter)=1,W2中m{Mary}=1,則歸一化因子K=0，D-S組合規則無法進行

這裡寫圖片描述
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(二)難以辨識模糊程度

由於證據理論中的證據模糊主要來自於各子集的模糊度。根據資訊理論的觀點，子集中元素的個數越多，子集的模糊度越大
這裡寫圖片描述
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(三)基本概率分配函式的微小變化會使組合結果產生急劇變化
這裡寫圖片描述
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