什麼是反對稱關係？

反對稱關係是集合上的一種二元關係，其中在一個方向上彼此相關的任何兩個不同元素不能在相反方向上相關。例如，考慮整數集合上的關係“小於或等於”(≤)。這種關係是反對稱的，因為如果 a ≤ b且b ≤ a，則a必須等於b。本文討論反對稱關係，包括其定義、示例以及屬性。

數學中的關係是什麼？
關係是指一組有序對，其中每對由來自兩個集合的元素組成。這些集合可以相同或不同。兩個集合 A 和 B 之間的關係 R 被定義為笛卡爾積 A × B 的子集。換句話說，如果 (a, b) 是關係 R 中的有序對，則意味著存在某種關係在a和b之間。

例如，讓我們考慮兩個集合：

• A = {1, 2, 3}
• B = {4, 5, 6}

什麼是反對稱關係？
反對稱關係是集合的兩個元素與關係R相關的關係，即，第一元素R第二元素和第二元素R第一元素，則第一元素等於第二元素。
換句話說，反對稱關係定義為如果aRb 和bRa 那麼a = b。關係式 R = {(a, b) → R | a ≤ b} 是不對稱關係，因為 a ≤ b 和 b ≤ a 意味著 a = b。

如果在集合 S 中兩個元素 p 和 q 與關係 R 相關，則該關係稱為反對稱關係，p = q。另外，如果對於每個 (p, q) ∈ R，(q, p) ∉ R 則 R 是反對稱的。在數學上，反對稱關係定義為：

如果 x 和 y 是集合 X 中的兩個元素且 R 是關係，則關係反對稱的條件：

(xRy 和 yRx) ⇒ (x = y) ∀ x, y ∈ X

或者

(x, y) ∈ R 則 (y, x) ∉ R

反對稱關係的例子
反對稱關係的例子有很多。下面列出了其中一些示例。

• 對兩個元素進行小於運算。
• 任意集合上的相等關係。
• 整除關係
• 子集

示例：如果關係 R = {(1, 1), (4, 7), (7, 4)}，則​​判斷給定關係是否是反對稱關係？

解決方案：

R = {(1, 1), (4, 7), (7, 4)}

上述關係是反對稱的

(1, 1) Î R 且 (1, 1) Î R 且 1 = 1。
(4, 7) Î R 且 (7, 4) Î R 且 4 ≠ 7。
R 不是反對稱關係。

反對稱關係的性質
反對稱關係的性質如下：

• 任何集合上的空關係總是反對稱的。
• 關係可以同時是對稱和反對稱的。
• 如果R是反對稱關係，則R -1也是反對稱關係。
• 若R 1和R 2是兩個反對稱關係，則R 1 ∩ R 2也是反對稱的。
• 在反對稱關係的矩陣表示中，當 i ≠ j 時，要麼 M ij = 0，要麼 M ij ≠ 0。

如何檢查關係是否反對稱？
要檢查給定關係是否反對稱，請按照以下步驟操作。

• 首先，檢查給定關係中的每個 (a, b) 是否存在 (b, a)。
• 如果 (b, a) 存在且 b ≠ a，則關係不是反對稱的。
• 如果對於每個 (a, b) 都存在 (b, a) 並且在所有對 a = b 中，則關係是反對稱的。
• 如果 (b, a) 不存在，則關係是反對稱的。