電腦科學概論最近在學這個。費了大概一星期的課餘時間來弄懂正負數、整數浮點、小數分數的互相轉換。寫出來，方便以後複習用。

基礎篇：二進位制簡介

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二進位制轉十進位制：

與十進位制的滿十進一一樣，二進位制是滿二進一的。所以用二進位制表示的數與十進位制存在如下關係（以8位為例）（為了便於排版，用了豎排）：
1 -> 128 = 27
1 -> 64 = 26
1 -> 32 = 25
1 -> 16 = 24
1 -> 8 = 23
1 -> 4 = 22
1 -> 2 = 21
1 -> 1 = 20
往上，以此類推。因此，只要用2的n次方乘以對應位的數字就行。
舉例：01001011（2）=0×27+1×26+0×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20=75（10）

十進位制轉二進位制：

1. 這是我高中學的方法，也算是最笨的方法：使用短除法求餘。將數值一直除以2，直到商為0。第一個取出來的餘數是最靠近小數點的。
   舉例：125
   
   然後從下往上讀，得到1111101。即125（10）=1111101（2）。
2. 使用速算的方法。（大概是升級版？）
   由二進位制轉十進位制的方法可以推出該方法。記住低四位是8、4、2、1即可，其餘的可以往上推出 舉例：75 速算，得出75 = 64+16+4+1。與對應位的數字比較，得到75（10）=01001011（2）。

四則運算

二進位制滿二進一。因此以二進位制進行四則運算時存在如下規律：
0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=10. 0×0=0,
0×1=0, 1×0=0, 1×1=1.

進階篇：正負數、整數浮點、小數分數的轉換

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補碼——正負數的轉換

明確一點：負整數在計算機中是以二進位制補碼(two’ s complement)的形式儲存的。為講解方便，下面的位長度均為4.
在負數的儲存中，最左邊的一位是符號位，負數的符號位為0，正數的符號位為1。因此，在位長度為4的條件下，3(10)=0011(2)，-3(10)=1101(2)。

1. 十進位制數求補碼的方式
   先將十進位制數轉換為二進位制數，然後全部取反，最後將所得的數+1； 例：-6 寫出6的二進位制表示：0110； 全部取反：1001；
   +1：1010

2. 同樣先寫出二進位制數，然後從右往左，將所有位的數字照抄下來，直到遇到第一個1為止，最後將這個1前所有位數取反。
   例：-6
   寫出6的二進位制表示：0110；
   1前所有數字取反：10
   合併：1010

推薦第一種方法，不容易算錯。

二進位制數轉十進位制數的方法：

先看符號位，0為正數，1為負數。如果符號位是0，直接轉成十進位制數；如果符號位為1，將所有位取反然後+1；或從右往左照抄所有數字，直到遇到第一個1，然後將1前所有位數取反，最後轉成十進位制數。

溢位

溢位(overflow)是指在算數計算中，得出的數值大於系統能表示的最大值或小於最小值的情況。溢位會造成錯誤，有可能給計算機造成損害。
舉例說明。前面將位長度設為4，這樣的話計算機只能儲存從-8到7的整數。一旦我們計算的結果超過這個範圍，就會引發錯誤。如6+4，你以為答案是10，但計算機給出的結果是-6。原因很簡單，把6和4轉成二進位制再運算下：
0110+0100=1010=-6(10)
不過現在的計算機使用的位數比例子中的長得多，所以小數的運算大可不必擔心。

移碼

移碼的計算方法很簡單，將補碼的符號位取反即可。

小數（浮點數）的轉換

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如無說明，位長度均為8位。
儲存小數時，一般第1位為符號位；第2~4位為指數位（使用移碼編碼）；第5~8位為尾數位。
十進位制與二進位制在小數點後的關係如下：
1 -> 1 = 20
1 -> 1/2 = 2-1
1 -> 1/4 = 2-2
1 -> 1/8 = 2-3
如此類推。

二進位制轉十進位制

首先看符號位，0為正，1為負。接著看指數位，將指數位的數轉為補碼再判斷正負、代表的十進位制數是多少。最後看尾數位，按指數位的數字移動小數點（正往右，負往左），轉成十進位制數的最終結果。
例：01101011。
符號位為0，代表這個數是正數。指數位為110，轉成補碼為010，說明指數位的數字是2，之後處理小數點時要把小數點右移兩位。尾數位的數為1011，依照指數位的數移動後，數字變為10.11，轉成十進位制為2 3/4。
例2：00111100
符號位為0，代表這個數是正數。指數位為011，轉成補碼為111，說明指數位的數字是-1，小數點要左移一位。尾數位的數為1100，小數點移動後數字變為0.0011，轉成十進位制為3/8。

十進位制轉二進位制

先看符號位，0為正數，1為負數。接著將十進位制數直接轉成二進位制數。再將小數點移動至所有數字前面，計算移動的位數和方向，然後轉成補碼，最後合併，得到結果。

截斷

思考一下這個數字的轉換：3 3/8。如果依舊用8位的位長度，轉換成二進位制後，這個數是這樣的：01101101。
似乎哪裡不對。再轉回十進位制看看。
尾數位是1101，小數點右移兩位變為11.01，轉成十進位制是3 1/4。嗯？還有1/8去哪了？
這種位數丟失的情況就叫截斷(truncation)。
還有一種情況。假設程式要儲存1/3，而根據十進位制與二進位制的關係，計算機中只有1/2、1/4、1/8…因此計算機是不可能精確地儲存這個數的，只能儲存一個近似值。這也是截斷錯誤的一種。

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說好的方便複習，結果在期末考試前一晚才寫出來……
有錯請指出。
感謝觀看。