Link-Cut Tree(LCT) 模板總結 & 水題/模板題 動態樹

huanghongxun發表於2015-11-21

虛擬碼解釋LCT模板，下面題目有C++模板。

splay::push_up i: // 維護資料

    // 舉個例子

    i.sum = i.left_child.sum + i.right_child.sum

splay::push_down i: // 下傳翻轉標記，make_root 需

    if i.reverse_lazy_tag:

        reverse i

        reverse i.left_child

        reverse i.right_child

        swap i.left_child i.right_child

splay::reverse i: // 標記翻轉，make_root 需

    i.reverse_lazy_tag = not self

splay::left_rotate i: // 左旋

    z = i.right_child; i.right_child = z.left_child // 旋轉操作

    if i = i.father.left_child: // 維護父親節點

        i.father.left_child = z

    else if i = i.father.right_child

        i.father.right_child = z

    z.father = i.father

    i.father = z

    i.push_up // 更新資料

    z.push_up

splay::right_rotate i // 右旋, 同理

splay::splay x: // splay操作

    stack.clear

    for i = x; i != null; i = i.father: // 將splay[x]的祖先先清空標記

        stack.push i

    while not stack.empty:

        stack.pop.push_down

    while x is not root // 簡單地通過旋轉操作將x升到根，戲說spaly，比splay操作要慢0.5倍左右，可寫splay

        if x = x.father.left_child:

            x.father.right_rotate

        else

            x.father.left_rotate

    x.push_up

link_cut_tree::access x: // 將根到x的路徑設為preferred path，有點類似重鏈

    for t = null; x != null; t = x, x = x.father // 遍歷根到x的路徑，此時x始終是t的父親

        splay splay[x]

        splay[x].right_child = t // 由於x是t的父親，所以t的深度比x大1，即t在伸展樹中在x的右子樹中

        splay[x].push_up

link_cut_tree::make_root x: // 將x設為LCT的新根節點

    access x // 將原根到x的路徑上的節點依次加入splay，將x設為根後，此路徑將顛倒。

    splay x // 此時位於splay中x左子樹的點都是x的祖先

    reverse x // 翻轉以x為根的splay，此時x的左子樹中的點都到x的右子樹中，即表示x的祖先變為x的後代，對於原根～x路徑的每個點都如此。

link_cut_tree::link x, y:

    make_root x // 如果要連線x，y，先將x設為根

    x.father = y // 此時很容易想到將x的父親設為y，邊就建立了

link_cut_tree::cut x, y 同理

1036: [ZJOI2008]樹的統計Count

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 162 MB
Submit: 9352  Solved: 3783
[Submit][Status][Discuss]

Description

一棵樹上有n個節點，編號分別為1到n，每個節點都有一個權值w。我們將以下面的形式來要求你對這棵樹完成一些操作： I. CHANGE u t : 把結點u的權值改為t II. QMAX u v: 詢問從點u到點v的路徑上的節點的最大權值 III. QSUM u v: 詢問從點u到點v的路徑上的節點的權值和 注意：從點u到點v的路徑上的節點包括u和v本身

Input

輸入的第一行為一個整數n，表示節點的個數。接下來n – 1行，每行2個整數a和b，表示節點a和節點b之間有一條邊相連。接下來n行，每行一個整數，第i行的整數wi表示節點i的權值。接下來1行，為一個整數q，表示操作的總數。接下來q行，每行一個操作，以“CHANGE u t”或者“QMAX u v”或者“QSUM u v”的形式給出。 對於100％的資料，保證1<=n<=30000，0<=q<=200000；中途操作中保證每個節點的權值w在-30000到30000之間。

Output

對於每個“QMAX”或者“QSUM”的操作，每行輸出一個整數表示要求輸出的結果。

Sample Input

4

1 2

2 3

4 1

4 2 1 3

12

QMAX 3 4

QMAX 3 3

QMAX 3 2

QMAX 2 3

QSUM 3 4

QSUM 2 1

CHANGE 1 5

QMAX 3 4

CHANGE 3 6

QMAX 3 4

QMAX 2 4

QSUM 3 4

Sample Output

4

1

2

2

10

6

5

6

5

16

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 200005
int sz[N], l[N], r[N], fa[N], sum[N], val[N], max[N], rev[N], sk[N];

void update(int x) {
	max[x] = std::max(std::max(max[l[x]], max[r[x]]), val[x]);
	sum[x] = sum[l[x]] + sum[r[x]] + val[x];
}

void pushdown(int x) {
	if (rev[x]) { rev[x] ^= 1, rev[l[x]] ^= 1, rev[r[x]] ^= 1, std::swap(l[x], r[x]); }
}

bool isRoot(int x) {
	return l[fa[x]] != x && r[fa[x]] != x;
}

void lrotate(int i) {
	int z = r[i]; r[i] = l[z]; fa[r[i]] = i; l[z] = i;
	if (i == l[fa[i]]) l[fa[i]] = z;
	else if (i == r[fa[i]]) r[fa[i]] = z;
	fa[z] = fa[i]; fa[i] = z;
	update(i); update(z);
}

void rrotate(int i) {
	int z = l[i]; l[i] = r[z]; fa[l[i]] = i; r[z] = i;
	if (i == l[fa[i]]) l[fa[i]] = z;
	else if (i == r[fa[i]]) r[fa[i]] = z;
	fa[z] = fa[i]; fa[i] = z;
	update(i); update(z);
}

void spaly(int x) {
	int top = 0;
	sk[++top] = x;
	for (int i = x; !isRoot(i); i = fa[i]) sk[++top] = fa[i];
	while (top) pushdown(sk[top--]);
	while (!isRoot(x))
		if (x == l[fa[x]]) rrotate(fa[x]);
		else lrotate(fa[x]);
	update(x);
}

void access(int x) { for(int t = 0; x; t = x, x = fa[x]) { spaly(x); r[x] = t; update(x); } }
void makeroot(int x) { access(x); spaly(x); rev[x] ^= 1; }
int query_sum(int x, int y) { makeroot(x); access(y); spaly(y); return sum[y]; }
int query_max(int x, int y) { makeroot(x); access(y); spaly(y); return max[y]; }
void modify(int x, int v) { access(x); val[x] = v; update(x); }
int h[N], p[N], to[N], cnt = 0;
void add(int a, int b) { p[cnt] = h[a], to[cnt] = b, h[a] = cnt++; }
void dfs(int x) {
	for (int i = h[x]; i != -1; i = p[i])
		if (to[i] != fa[x])
			fa[to[i]] = x, dfs(to[i]);
}

int main() {
	int n, u, v, i, q;
	char ch[8];
	scanf("%d", &n);
	std::fill(h,h+n+2,-1);
	std::fill(rev,rev+n+2,0);
	max[0] = -2147483647;
	for (i = 1; i < n; i++) {
		scanf("%d%d", &u, &v);
		add(u, v); add(v, u);
	}
	dfs(1);
	for (i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d", &u);
		val[i] = max[i] = sum[i] = u;
	}
	scanf("%d", &q);
	for(; q>0; q--) {
		scanf("%s%d%d", ch, &u, &v);
		if (ch[1] == 'M') printf("%d\n", query_max(u, v));
		else if (ch[1] == 'S') printf("%d\n", query_sum(u, v));
		else modify(u, v);
	}
	return 0;
}

無聊寫了個資料生成器。。很蛋疼的寫法。。。
struct { int a, b, w; } e[2000000], k[30000];
int ec = 0, p[2000000];

int find(int i) { return i == p[i] ? i : p[i] = find(p[i]); }

int main() {
	srand(time(0));
	int n = rand()%30000+1;
	printf("%d\n", n);
begin:
	int tot = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		p[i] = i;
		int nei = n/2;
		while(nei--) {
			e[ec].a = i;
			e[ec].b = rand()%n+1;
			ec++;
		}
	}
	
	random_shuffle(e, e+ec); // 使選出的邊隨機化
	for(int i = 0; i < ec; i++) {
		int fa = find(e[i].a), fb = find(e[i].b);
		if(fa != fb) {
			k[++tot]=e[i];
			p[fa]=fb;
		}
		if(tot == n-1) break;
	}
	if(tot != n-1) goto begin; // 若圖不連通，重新生成一次
	for (int i=1;i<n;i++) printf("%d %d\n", k[i].a, k[i].b);
	for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", rand()%30000);
	printf("\n");
	
	tot = rand()%200000+1;
	printf("%d\n", tot);
	while(tot--) {
		int x = random()%3;
		if(x==2) printf("QSUM %d %d\n", rand()%n+1, rand()%n+1);
		else if (x==1) printf("QMAX %d %d\n", rand()%n+1, rand()%n+1);
		else printf("CHANGE %d %d\n", rand()%n+1, rand()%30000);
	}
	
	return 0;
}


3282: Tree

Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 512 MB
Submit: 895  Solved: 375
[Submit][Status][Discuss]

Description

給定Ｎ個點以及每個點的權值，要你處理接下來的Ｍ個操作。操作有４種。操作從０到３編號。點從１到Ｎ編號。

０：後接兩個整數（ｘ，ｙ），代表詢問從ｘ到ｙ的路徑上的點的權值的ｘｏｒ和。保證ｘ到ｙ是聯通的。

１：後接兩個整數（ｘ，ｙ），代表連線ｘ到ｙ，若ｘ到Ｙ已經聯通則無需連線。

２：後接兩個整數（ｘ，ｙ），代表刪除邊（ｘ，ｙ），不保證邊（ｘ，ｙ）存在。

３：後接兩個整數（ｘ，ｙ），代表將點Ｘ上的權值變成Ｙ。

 

Input

第１行兩個整數，分別為Ｎ和Ｍ，代表點數和運算元。

第２行到第Ｎ＋１行，每行一個整數，整數在［１，１０＾９］內，代表每個點的權值。

第Ｎ＋２行到第Ｎ＋Ｍ＋１行，每行三個整數，分別代表操作型別和操作所需的量。

 

Output

對於每一個０號操作，你須輸出Ｘ到Ｙ的路徑上點權的Ｘｏｒ和。

Sample Input

3 3

1

2

3

1 1 2

0 1 2

0 1 1

Sample Output

3

1

HINT

１＜＝Ｎ，Ｍ＜＝３０００００

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 300005
int l[N], r[N], fa[N], sum[N], val[N], rev[N]={0}, sk[N], n;
void update(int x) { sum[x] = sum[l[x]] ^ sum[r[x]] ^ val[x]; }
void pushdown(int x) { if (rev[x]) rev[x] ^= 1, rev[l[x]] ^= 1, rev[r[x]] ^= 1, std::swap(l[x], r[x]); }
bool isRoot(int x) { return l[fa[x]]!=x&&r[fa[x]]!=x; }
void lrotate(int i) {
	int z = r[i]; r[i] = l[z]; fa[r[i]] = i; l[z] = i;
	if (i == l[fa[i]]) l[fa[i]] = z; else if (i == r[fa[i]]) r[fa[i]] = z;
	fa[z] = fa[i]; fa[i] = z; update(i); update(z);
}
void rrotate(int i) {
	int z = l[i]; l[i] = r[z]; fa[l[i]] = i; r[z] = i;
	if (i == l[fa[i]]) l[fa[i]] = z; else if (i == r[fa[i]]) r[fa[i]] = z;
	fa[z] = fa[i]; fa[i] = z; update(i); update(z);
}
void splay(int x) {
	int top = 0; sk[++top] = x;
	for (int i = x; !isRoot(i); i = fa[i]) sk[++top] = fa[i];
	while (top) pushdown(sk[top--]);
	while (!isRoot(x)) if (x == l[fa[x]]) rrotate(fa[x]); else lrotate(fa[x]);
	update(x);
}
void access(int x) { for(int t = 0; x; t = x, x = fa[x]) splay(x), r[x] = t, update(x); }
void makeroot(int x) { access(x); splay(x); rev[x] ^= 1; }
int find(int x) { access(x); splay(x); while (l[x]) x = l[x]; return x; }
void link(int x, int y) { makeroot(x); fa[x] = y; }
void cut(int x, int y) { makeroot(x); access(y); splay(y); if(l[y]==x) l[y]=fa[x]=0; }
int main() {
	int x, y, i, q, op;
	scanf("%d%d", &n, &q);
	for (i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &val[i]);
	for(; q>0; q--) {
		scanf("%d%d%d", &op, &x, &y);
		switch(op) {
		case 0: makeroot(x); access(y); splay(y); printf("%d\n", sum[y]); break;
		case 1: if (find(x) != find(y)) link(x, y); break;
		case 2: if (find(x) == find(y)) cut(x, y); break;
		case 3: access(x); splay(x); val[x] = y; update(x); break;
		}
	}
	return 0;
}


2157: 旅遊

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 259 MB
Submit: 548  Solved: 301
[Submit][Status][Discuss]

Description

Ray 樂忠於旅遊，這次他來到了T 城。T 城是一個水上城市，一共有 N 個景點，有些景點之間會用一座橋連線。為了方便遊客到達每個景點但又為了節約成本，T 城的任意兩個景點之間有且只有一條路徑。換句話說， T 城中只有N − 1 座橋。Ray 發現，有些橋上可以看到美麗的景色，讓人心情愉悅，但有些橋狹窄泥濘，令人煩躁。於是，他給每座橋定義一個愉悅度w，也就是說，Ray 經過這座橋會增加w 的愉悅度，這或許是正的也可能是負的。有時，Ray 看待同一座橋的心情也會發生改變。現在，Ray 想讓你幫他計算從u 景點到v 景點能獲得的總愉悅度。有時，他還想知道某段路上最美麗的橋所提供的最大愉悅度，或是某段路上最糟糕的一座橋提供的最低愉悅度。

Input

輸入的第一行包含一個整數N，表示T 城中的景點個數。景點編號為 0...N − 1。接下來N − 1 行，每行三個整數u、v 和w，表示有一條u 到v，使 Ray 愉悅度增加w 的橋。橋的編號為1...N − 1。|w| <= 1000。輸入的第N + 1 行包含一個整數M，表示Ray 的運算元目。接下來有M 行，每行描述了一個操作，操作有如下五種形式： C i w，表示Ray 對於經過第i 座橋的愉悅度變成了w。 N u v，表示Ray 對於經過景點u 到v 的路徑上的每一座橋的愉悅度都變成原來的相反數。 SUM u v，表示詢問從景點u 到v 所獲得的總愉悅度。 MAX u v，表示詢問從景點u 到v 的路徑上的所有橋中某一座橋所提供的最大愉悅度。 MIN u v，表示詢問從景點u 到v 的路徑上的所有橋中某一座橋所提供的最小愉悅度。測試資料保證，任意時刻，Ray 對於經過每一座橋的愉悅度的絕對值小於等於1000。

Output

對於每一個詢問(操作S、MAX 和MIN)，輸出答案。

神TM樣例大資料。。。

測樣例還得上fc。。。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 200005
int sz[N], l[N], r[N], fa[N], sum[N], val[N], max[N], rev[N], sk[N], min[N], neg[N], ed[N], n;

void update(int x) {
	max[x] = std::max(max[l[x]], max[r[x]]), min[x] = std::min(min[r[x]], min[l[x]]);
	if(x > n) max[x] = std::max(max[x], val[x]), min[x] = std::min(min[x], val[x]);
	sum[x] = sum[l[x]] + sum[r[x]] + val[x];
}

void reverse(int y) {
	sum[y] = -sum[y]; std::swap(max[y], min[y]);
	max[y] = -max[y]; min[y] = -min[y];
	neg[y] ^= 1; val[y] = -val[y];
}

void pushdown(int x) {
	if (neg[x]) {
		neg[x] = 0;
		if(l[x]) reverse(l[x]);
		if(r[x]) reverse(r[x]);
	}
	if (rev[x]) {
		rev[x] ^= 1, rev[l[x]] ^= 1, rev[r[x]] ^= 1, std::swap(l[x], r[x]);
	}
}

bool isRoot(int x) {
	return l[fa[x]]!=x&&r[fa[x]]!=x;
}

void lrotate(int i) {
	int z = r[i]; r[i] = l[z]; fa[r[i]] = i; l[z] = i;
	if (i == l[fa[i]]) l[fa[i]] = z;
	else if (i == r[fa[i]]) r[fa[i]] = z;
	fa[z] = fa[i]; fa[i] = z;
	update(i); update(z);
}

void rrotate(int i) {
	int z = l[i]; l[i] = r[z]; fa[l[i]] = i; r[z] = i;
	if (i == l[fa[i]]) l[fa[i]] = z;
	else if (i == r[fa[i]]) r[fa[i]] = z;
	fa[z] = fa[i]; fa[i] = z;
	update(i); update(z);
}

void splay(int x) {
	int top = 0;
	sk[++top] = x;
	for (int i = x; !isRoot(i); i = fa[i]) sk[++top] = fa[i];
	while (top) pushdown(sk[top--]);
	while (!isRoot(x))
		if (x == l[fa[x]]) rrotate(fa[x]);
		else lrotate(fa[x]);
	update(x);
}

void access(int x) {
	for(int t = 0; x; t = x, x = fa[x]) { splay(x); r[x] = t; update(x); }
}

void makeroot(int x) {
	access(x); splay(x); rev[x] ^= 1;
}

void get_path(int x, int y) {
	makeroot(x); access(y); splay(y);
}

void link(int x, int y) {
	makeroot(x); fa[x] = y;
} 

int main() {
	int u, v, i, q;
	char ch[8];
	scanf("%d", &n);
	int id = n;
	std::fill(rev,rev+n+2,0);
	std::fill(neg,neg+n+2,0);
	max[0] = -2147483647;
	min[0] = 2147483647;
	sum[0] = 0;
	for (i = 1; i < n; i++) {
		scanf("%d%d%d", &u, &v, &q);
		u++, v++;
		ed[i] = ++id;
		link(u, id); link(v, id);
		val[id] = sum[id] = max[id] = min[id] = q;
	}
	
	scanf("%d", &q);
	for(; q>0; q--) {
		scanf("%s%d%d", ch, &u, &v);
		if (ch[0] == 'C') access(ed[u]), val[ed[u]] = v, update(ed[u]);
		else {
			u++, v++;
			if (ch[0] == 'N') get_path(u, v), reverse(v);
			else if (ch[1] == 'U') get_path(u, v), printf("%d\n", sum[v]);
			else if (ch[1] == 'A') get_path(u, v), printf("%d\n", max[v]);
			else if (ch[1] == 'I') get_path(u, v), printf("%d\n", min[v]);
		}
	}
	return 0;
}

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