FFT也能用於一些特殊的字串匹配與最小化問題。
Prob 1 : 給出模式串A與文字串B，兩個串中只有26個大寫字母與萬用字元'?'（即可以任意匹配一個字元），求A在B中的匹配數。要求以FFT為例給出上限為O(nlogn)的演算法。
Prob 2 : 給出模式串A與文字串B，字符集很小，求A在B中的匹配數，允許有k個字元不同。要求以FFT為例給出上限為O（nlogn*|S|）的演算法。
Prob 3 : 給出數列a和b，長度均為n，a可以順時針轉動但不能翻轉，最小化sigma(ai*bi)。要求以FFT為例給出上限為O（nlogn）的演算法。
不知道是什麼東西的引導
我們先看看FFT幹了什麼，就是個卷積。
以陣列a和b為例（這裡下標從1開始），a有4位，b有8位，卷出的結果放在c陣列中。
然而並沒有什麼用處。我們再往後看幾位：
雖然FFT時會把a陣列給自動補全，但從實際意義上來講，只是整個a陣列與b陣列中四個數相乘放進c中。
不難發現，此時的下標就是一個“佔位符”。
我們順便把a陣列反一反，就有：
這樣就有很好的性質了，c陣列中從第5位開始，每往後一位就是整個a陣列與b陣列中連續的四位積的和。
同樣可以擴充到更大的陣列中，接下來的題目就要利用這個特點。
Prob 1
我們發現字串的匹配很類似於上述圖片中一位位算過去。
先不考慮萬用字元，只是普通的字串匹配。定義
為A的第x位與B的第y位的匹配度。若C為0，則是匹配的。
再定義
，表示B字串中以x為結尾，向前m-1位與A字串的匹配度。我們天真地考慮若P為0，則是匹配的。
但是C有正有負，因此一旦連續的幾位的可重集是相同的，P的結果就為0。
所以在C上動手腳。乾脆加個平方吧：
這樣，
但還不能優化！因此我們又看了看上面的圖，把A字串反了過來。定義
則
注意到(m-i-1)+(x-m+1+i)==x，有：
這樣S與B做一遍卷積就行了。S與B的值取字串的字元值就行了。
那帶上萬用字元，只要有任何字元遇上“?”，C的值就必須是0。這樣在原來P的式子中，後面乘上S與B中相應的第幾位，若是“?”，給其賦值為0。則
做三次FFT，加起來等於0的，即為匹配。
1 //源：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4173 2 #include<bits/stdc++.h> 3 using namespace std; 4 const int maxn=1233333; 5 const double pi=3.1415926535898; 6 struct com 7 { 8 double a,b; 9 com(double A=0,double B=0){a=A,b=B;} 10 void operator=(com x){a=x.a,b=x.b;} 11 com operator+(com x){return com(a+x.a,b+x.b);} 12 com operator-(com x){return com(a-x.a,b-x.b);} 13 com operator*(com x){return com(a*x.a-b*x.b,a*x.b+b*x.a);} 14 com operator/(double d){return com(a/d,b/d);} 15 com operator*(double d){return com(a*d,b*d);} 16 }A[maxn],B[maxn],ans[maxn]; 17 int n,m,limit,r[maxn],len,g1[maxn],g2[maxn]; 18 char ch; 19 int re(int x) 20 { 21 int sum=0; 22 for(int i=0;i<len;++i) 23 { 24 sum=sum*2+x%2; 25 x/=2; 26 } 27 return sum; 28 } 29 void FFT(com*A,int g) 30 { 31 for(int i=0;i<limit;++i) 32 if(i<r[i])swap(A[i],A[r[i]]); 33 for(int i=2;i<=limit;i*=2) 34 { 35 com w(cos(2*pi/i),g*sin(2*pi/i)); 36 for(int j=0;j<limit/i;++j) 37 { 38 com d(1,0); 39 for(int k=0;k<i/2;++k) 40 { 41 com a=A[i*j+k],b=d*A[i*j+i/2+k]; 42 A[i*j+k]=a+b; 43 A[i*j+i/2+k]=a-b; 44 d=w*d; 45 } 46 } 47 } 48 } 49 void out(com*A) 50 { 51 for(int i=0;i<limit;++i)cout<<A[i].a<<' '; 52 cout<<endl; 53 } 54 void get(com*A,com*B) 55 { 56 FFT(A,1); 57 FFT(B,1); 58 for(int i=0;i<limit;++i)A[i]=A[i]*B[i]; 59 FFT(A,-1); 60 for(int i=0;i<limit;++i)A[i]=A[i]/limit; 61 } 62 int main() 63 { 64 ios::sync_with_stdio(false); 65 cin>>n>>m; 66 for(int i=n-1;i>=0;--i) 67 { 68 cin>>ch; 69 if(ch!='*') 70 { 71 int x=ch-'a'+1; 72 A[i]=g1[i]=x; 73 } 74 } 75 for(int i=0;i<m;++i) 76 { 77 cin>>ch; 78 if(ch!='*') 79 { 80 int x=ch-'a'+1; 81 g2[i]=x; 82 B[i]=x*x*x; 83 } 84 } 85 limit=1; 86 while(limit<n+m+1)limit*=2,++len; 87 for(int i=0;i<limit;++i)r[i]=re(i); 88 get(A,B); 89 for(int i=0;i<limit;++i)ans[i]=A[i]; 90 91 for(int i=limit-1;i>=0;--i)A[i]=g1[i]*g1[i]*g1[i]; 92 for(int i=0;i<limit;++i)B[i]=g2[i]; 93 get(A,B); 94 for(int i=0;i<limit;++i)ans[i]=ans[i]+A[i]; 95 96 for(int i=limit-1;i>=0;--i)A[i]=g1[i]*g1[i]; 97 for(int i=0;i<limit;++i)B[i]=g2[i]*g2[i]; 98 get(A,B); 99 for(int i=0;i<limit;++i)ans[i]=ans[i]-A[i]*2; 100 101 int tot=0; 102 for(int i=n-1;i<m;++i)if(int(ans[i].a+0.5)==0)++tot; 103 cout<<tot<<endl; 104 for(int i=n-1;i<m;++i)if(int(ans[i].a+0.5)==0)cout<<i-n+2<<' '; 105 cout<<endl; 106 return 0; 107 }
Prob 2
若字元只有’0'和'1'的呢？按照上面的做法，最後結果小於等於2的即為匹配（因為會有地方算兩遍）。
再擴充一下，字符集多大就做幾遍。最後的和加起來即可。
但由於一些奇妙的原因，至今我交不過去。只有網址。
其實隨便雜湊就能過了，SA也行。
https://www.luogu.org/problemnew/show/P3763
Prob 3
仍然是老套路。我們只要把其中某個陣列的長度變為兩倍，再重複寫下前面的數就行了。
類似的題目：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3723
最後，如果能用一些資料結構或方法來維護的話就別寫FFT了。