NOIP2014pj子矩陣[搜尋｜DP]

Candy?發表於2016-08-27
矩陣

題目描述

給出如下定義：

  1. 子矩陣：從一個矩陣當中選取某些行和某些列交叉位置所組成的新矩陣（保持行與列的相對順序）被稱為原矩陣的一個子矩陣。

例如，下面左圖中選取第2、4行和第2、4、5列交叉位置的元素得到一個2*3的子矩陣如右圖所示。

9 3 3 3 9

9 4 8 7 4

1 7 4 6 6

6 8 5 6 9

7 4 5 6 1

的其中一個2*3的子矩陣是

4 7 4

8 6 9

  1. 相鄰的元素：矩陣中的某個元素與其上下左右四個元素（如果存在的話）是相鄰的。

  2. 矩陣的分值：矩陣中每一對相鄰元素之差的絕對值之和。

本題任務：給定一個n行m列的正整數矩陣，請你從這個矩陣中選出一個r行c列的子矩陣，使得這個子矩陣的分值最小，並輸出這個分值。

(本題目為2014NOIP普及T4)

輸入輸出格式

輸入格式：

第一行包含用空格隔開的四個整數n，m，r，c，意義如問題描述中所述，每兩個整數之間用一個空格隔開。

接下來的n行，每行包含m個用空格隔開的整數，用來表示問題描述中那個n行m列的矩陣。

輸出格式：

輸出共1行，包含1個整數，表示滿足題目描述的子矩陣的最小分值。

輸入輸出樣例

輸入樣例#1：
5 5 2 3
9 3 3 3 9
9 4 8 7 4
1 7 4 6 6
6 8 5 6 9
7 4 5 6 1
輸出樣例#1：
6
輸入樣例#2：
7 7 3 3  
7 7 7 6 2 10 5
5 8 8 2 1 6 2 
2 9 5 5 6 1 7 
7 9 3 6 1 7 8 
1 9 1 4 7 8 8 
10 5 9 1 1 8 10
1 3 1 5 4 8 6
輸出樣例#2：
16

說明

【輸入輸出樣例1說明】

該矩陣中分值最小的2行3列的子矩陣由原矩陣的第4行、第5行與第1列、第3列、第4列交叉位置的元素組成，為

6 5 6

7 5 6

，其分值為

|6−5| + |5−6| + |7−5| + |5−6| + |6−7| + |5−5| + |6−6| =6。

【輸入輸出樣例2說明】

該矩陣中分值最小的3行3列的子矩陣由原矩陣的第4行、第5行、第6行與第2列、第6列、第7列交叉位置的元素組成，選取的分值最小的子矩陣為

9 7 8 9 8 8 5 8 10

【資料說明】

對於50%的資料，1 ≤ n ≤ 12，1 ≤ m ≤ 12，矩陣中的每個元素1 ≤ a[i][j] ≤ 20；

對於100%的資料，1 ≤ n ≤ 16，1 ≤ m ≤ 16，矩陣中的每個元素1 ≤ a[i][j] ≤ 1,000，

1 ≤ r ≤ n，1 ≤ c ≤ m。

--------------------------------------------------

爆搜行和列有點玄乎吧，複雜度O(C(16,8)∗(C(16,8)+m3))

多維問題考慮降維，只列舉列，然後用DP求選哪些行

l[]列舉的列，hw[i]i行上相鄰列的價值，w[i][j]i行和j行相鄰的價值，每次列舉l[]重新預處理比較好

f[i][j]表示選了第i行後共選了j行的最小价值，轉移列舉上一行k，f[i][j]=min(f[i][j],f[k][j-1]+w[k][i])　　f[i][j]+=hw[i]

預處理INF,f[i][0]=0,f[i][1]=hw[i］

PS：關於列舉子集的二進位制法剪枝後的複雜度，參見TA爺的神奇分析

 

一定把行列分清，我一直95好多次就是因為列舉列時用了n..........

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N=20,INF=1e9;
int n,m,r,c,a[N][N];
int l[N],w[N][N],hw[N];
int f[N][N],ans=INF;
void dp(){
    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) f[i][j]=INF,w[i][j]=0,hw[i]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=c;j++){
            if(j>=2) hw[i]+=abs(a[i][l[j]]-a[i][l[j-1]]); f[i][0]=0;f[i][1]=hw[i];
            for(int x=i+1;x<=n;x++){
                w[i][x]+=abs(a[i][l[j]]-a[x][l[j]]);
            }
        }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=2;j<=min(r,i);j++){
            for(int k=1;k<i;k++) f[i][j]=min(f[i][j],f[k][j-1]+w[k][i]);
            f[i][j]+=hw[i];
        }
        ans=min(ans,f[i][r]);
    }
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&r,&c);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&a[i][j]);
    
    //inithang();
    for(int s=0;s<(1<<m);s++){
        int cnt=0;
        for(int j=0;j<m;j++)
            if(s&(1<<j)){
                l[++cnt]=j+1;//j+1
                if(cnt>c) break;
                if(cnt+m-j-1<c) break;
            }
        if(cnt==c) dp();
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

 

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