P10592 BZOJ4361 isn

P10592 BZOJ4361 isn

當一個序列刪成非降序列的話那操作就要停止，所以我們要求的是最後一步剛好刪成非降序列的運算元，但是這樣做太複雜了，我們先不考慮停止操作，讓他一直刪下去。

這時我們就要知道長度為 \(i\) 的非降序列的數量然後才能計算答案，我們有 \(f_{i,j}\) 為第 \(i\) 個數長度為 \(j\) 的非降序列的長度，我們可以用樹狀陣列最佳化，比如我們要求以 \(3\) 結尾的長度為 \(2\) 的非降子序列的數量，我們就用樹狀陣列查詢小於 \(3\) 的長度 \(1\) 的非降子序列的數量，這樣計算的時間複雜度為 \(O(n^2\log n)\)。

接下我我們要統計長度為 \(i\) 的非降序列的總數量，我們有：

\[g_i=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i}^{n}f_{j,i} \]

現在知道數量如何計算方案數，對於刪成一個長度為 \(i\) 的非降序列的方案數為 \((n-i)!\)，即刪除數的全排列。總的方案數為：

\[ans=\sum_{i=1}^n g_i\times (n-i)! \]

接下來加上停止操作，我們要排除不合法的方案，當我們刪除最後一個數使得非降序列長度為 \(i\)，我們是從 \(i+1\) 轉移過來，但是如果 \(i+1\) 刪掉最後一個數使得非降序列長度為 \(i+1\) 的話就會停止操作使得不會再向下傳遞使我們造成貢獻，所以我們要容斥掉那一部分，總計算為：

\[ans=\sum_{i=1}^n g_i\times (n-i)!-g_{i+1}\times (n-i-1)!\times (i+1) \]

乘 \(i+1\) 是因為我們有 \(i+1\) 個數可以作長度為 \(i\) 的非降序列的最後一個刪的數。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ls p<<1
#define rs p<<1|1 
#define fi first
#define se second
#define re register 
#define pir pair<int,int>
const int inf=1e9;
const int N=2e5+10;
const int mod=1e9+7;
using namespace std;

int n;
int a[N];
int b[N];

int f[3005][3005];
int t[3005][3005];
int fac[2005];

int g[N];

int lb(int x){
	return x&-x;
}

void change(int x,int k,int z){
	x++;
	while(x<=2000){
		(t[x][z]+=k)%=mod;
		x+=lb(x);
	}
}

int query(int x,int k){
	x++;
	int ans=0;
	while(x){
		ans+=t[x][k];
		x-=lb(x);
		ans%=mod;
	}
	return ans;
}

void init(){
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=2000;i++){
		fac[i]=fac[i-1]*i;
		fac[i]%=mod;
	}
	sort(b+1,b+n+1);
	int len=unique(b+1,b+n+1)-b-1;
	for(re int i=1;i<=n;i++){
		a[i]=lower_bound(b+1,b+len+1,a[i])-b;
	}
}

signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr); 
	
	cin>>n;
	
	for(re int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		b[i]=a[i];
	}
	
	init();	
	
	change(0,1,0);
	f[0][0]=1;
	
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=i;j;j--){
			f[i][j]=query(a[i],j-1);
			change(a[i],f[i][j],j);
		}
	}
	int ans=0;
	
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=i;j<=n;j++){
			(g[i]+=f[j][i])%=mod;
		}
	}
	
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x=g[i]*fac[n-i]%mod;
		int y=g[i+1]*fac[n-i-1]%mod*(i+1)%mod;
		if(i==n){
			y=0;
		}
		ans=(ans+x-y+mod)%mod;	
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}