詳細闡述基於時間的反向傳播演算法（Back-Propagation Through Time,BPTT）

上一節我們說了詳細展示RNN的網路結構以及前向傳播，在瞭解RNN的結構之後，如何訓練RNN就是一個重要問題，訓練模型就是更新模型的引數，也就是如何進行反向傳播，也就意味著如何對引數進行求導。本篇內容就是詳細介紹RNN的反向傳播演算法，即BPTT。

首先讓我們來用動圖來表示RNN的損失是如何產生的，以及如何進行反向傳播，如下圖所示。

上面兩幅圖片，已經很詳細的展示了損失是如何產生的，以及如何來對引數求導，這是忽略細節的RNN反向傳播流程，我相信已經描述的非常清晰了。下圖(來自trask)描述RNN詳細結構中反向傳播的過程。

有了清晰的反向傳播的過程，我們接下來就需要進行理論的推到，由於符號較多，為了不至於混淆，根據下圖，現標記符號如表格所示：

公式符號表
符號	含義
	輸入向量的大小（one-hot長度，也是詞典大小）
	輸入的每一個序列的長度
	隱藏層神經元的個數
$X=\left \{ x_{1},x_{2},x_{3}....,x_{T} \right \}$	樣本集合
$x_{t}\epsilon \mathbb{R}^{K\times 1}$	第時刻的輸入
$y_{t}\epsilon \mathbb{R}^{K\times 1}$	第時刻經過Softmax層的輸出。
$\hat{y}_{t}\epsilon \mathbb{R}^{K\times 1}$	第時刻輸入樣本的真實標籤
$L_{t}$	第時刻的損失函式，使用交叉熵函式， $L_t=-\hat{y}_t^Tlog(y_t)$
	序列對應的損失函式: $L=\sum\limits_t^T L_t$ RNN的反向傳播是每處理完一個樣本就需要對引數進行更新，因此當執行完一個序列之後，總的損失函式就是各個時刻所得的損失之和。
$s_{t}\epsilon \mathbb{R}^{H\times 1}$	第個時刻RNN隱藏層的輸入。
$h_{t}\epsilon \mathbb{R}^{H\times 1}$	第t個時刻RNN隱藏層的輸出。
$z_{t}\epsilon \mathbb{R}^{H\times 1}$	輸出層的輸入，即Softmax函式的輸入
$W\epsilon \mathbb{R}^{H\times K}$	輸入層與隱藏層之間的權重。
$U\epsilon \mathbb{R}^{H\times H}$	上一個時刻的隱藏層與當前時刻隱藏層之間的權值。
$V\epsilon \mathbb{R}^{K\times H}$	隱藏層與輸出層之間的權重。

$\begin{matrix} \: \: \: \: \: \: \: \: \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; s_t=Uh_{t-1}+Wx_t+b\\ \\ h_t=\sigma(s_t)\\ \\ \; \; \; \; z_t=Vh_t+c\\ \\ \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; y_t=\mathrm{softmax}(z_t) \end{matrix}$

我們對引數 V,c 求導比較方便，只有每一時刻的輸出對應的損失與 V,c 相關，可以直接進行求導，即：

$\frac{\partial L}{\partial V} =\sum\limits_{t=1}^{T}\frac{\partial L_{t}}{\partial V} = \sum\limits_{t=1}^{T}\frac{\partial L_{t}}{\partial z_{t}} \frac{\partial z_{t}}{\partial V} = \sum\limits_{t=1}^{\tau}(\hat{ y}_{t}-y_{t}) (h_{t})^T$

$\frac{\partial L}{\partial c} = \sum\limits_{t=1}^{T}\frac{\partial L_{t}}{\partial c} = \sum\limits_{t=1}^{T}\frac{\partial L_{t}}{\partial z_{t}} \frac{\partial z_{t}}{\partial c} = \sum\limits_{t=1}^{T}y_{t} - \hat{y}_{t}$

要對引數 W,U,b 進行更新，就不那麼容易了，因為引數 W,U,b 雖是共享的，但是他們不只是對第刻的輸出做出了貢獻，同樣對 t+1 時刻隱藏層的輸入 $s_{t+1}$ 做出了貢獻，因此在對 W,U,b 引數求導的時候，需要從後向前一步一步求導。

假設我們在對時刻的引數 W,U,b 求導，我們利用鏈式法則可得出：

$\frac{\partial L}{\partial W}=\frac{\partial L}{\partial h_{t}}\frac{\partial h_{t}}{\partial s_{t}}\frac{\partial s_{t}}{\partial W}$

$\frac{\partial L}{\partial U}=\frac{\partial L}{\partial h_{t}}\frac{\partial h_{t}}{\partial s_{t}}\frac{\partial s_{t}}{\partial U}$

$\frac{\partial L}{\partial b}=\frac{\partial L}{\partial h_{t}}\frac{\partial h_{t}}{\partial s_{t}}\frac{\partial s_{t}}{\partial b}$

我們發現對 W,U,b 進行求導的時候，都需要先求出 $\frac{\partial L}{\partial h_{t}}$ ，因此我們設：

$\delta ^{t}=\frac{\partial L}{\partial h_{t}}=\frac{\partial L}{\partial z_{t}}\frac{\partial z_{t}}{\partial h_{t}}+\frac{\partial L}{\partial h_{t+1}}\frac{\partial h_{t+1}}{\partial h_{t}}$

那麼我們現在需要先求出 $\delta ^{t}$ ，則：

$\frac{\partial L}{\partial z_{t}}\frac{\partial z_{t}}{\partial h_{t}}=V^{T}(y_{t}-\hat{y}_{t})$

$\begin{matrix} \frac{\partial L}{\partial h_{t+1}}\frac{\partial h_{t+1}}{\partial h_{t}}=U^{T}\delta ^{t+1}\odot \sigma ^{'}(z_{t+1})\\ \\ =U^{T}diag(\delta ^{t+1}) \sigma ^{'}(z_{t+1})\\ \\ =U^{T}diag(\sigma ^{'}(z_{t+1}))\delta ^{t+1} \\ \\ =U^{T}diag(1-h_{t+1}^{2})\delta ^{t+1} \end{matrix}$

注：在求解啟用函式導數時，是將已知的部分求導之後，然後將它和啟用函式導數部分進行哈達馬乘積。啟用函式的導數一般是和前面的進行哈達馬乘積，這裡的啟用函式是雙曲正切，用矩陣中對角線元素表示向量中各個值的導數，可以去掉哈達馬乘積，轉化為矩陣乘法。

則：

$\begin{matrix} \delta ^{t}=\frac{\partial L}{\partial h_{t}}=\frac{\partial L}{\partial z_{t}}\frac{\partial z_{t}}{\partial h_{t}}+\frac{\partial L}{\partial h_{t+1}}\frac{\partial h_{t+1}}{\partial h_{t}}\\ \\\: \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; =V^{T}(y_{t}-\hat{y}_{t})+U^{T}\delta ^{t+1}\odot \sigma ^{'}(z_{t+1})\\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \; =V^{T}(y_{t}-\hat{y}_{t})+U^{T}\delta ^{t+1} (1-h_{t+1}^{2}) \end{matrix}$

我們求得 $\delta ^{t}$ ，之後，便可以回到最初對引數的求導，因此有：

$\frac{\partial L}{\partial W} = \sum\limits_{t=1}^{T}\frac{\partial L}{\partial h_{t}} \frac{\partial h_{t}}{\partial W} = \sum\limits_{t=1}^{T}diag(1-(h_{t})^2)\delta^{t}(x_{t})^T$

$\frac{\partial L}{\partial b}= \sum\limits_{t=1}^{T}\frac{\partial L}{\partial h_{t}} \frac{\partial h_{t}}{\partial b} = \sum\limits_{t=1}^{T}diag(1-(h_{t})^2)\delta^{t}$

$\frac{\partial L}{\partial U} = \sum\limits_{t=1}^{T}\frac{\partial L}{\partial h_{t}} \frac{\partial h_{t}}{\partial U} = \sum\limits_{t=1}^{T}diag(1-(h_{t})^2)\delta^{t}(h_{t-1})^T$