簡要題意
給定一個 \(n \times n\) 矩陣，矩陣中的每一個元素的計算方式如下：
- 隨機從 \([0, n - 1]\) 中選出兩個整數（可以重複）\(a, b\)，矩陣的元素為 \(a \times b \bmod n\)
求矩陣中元素 \(m\) 出現次數的期望。
- \(0 \le m < n \le 10^{12}\)
題解
對於矩陣中的任意一個元素是獨立的，因此我們考慮對於一組 \(a \times b \equiv m \pmod n\) 的期望。
原式可推出 \(ab + kn = m\)，由裴蜀定理可知，當 \(\gcd(a, n) \mid m\) 時，方程有線性解。
接下來考慮對於一個合法的 \(a\) 有多少組解是可以被接受的，由於 \(at = sn\)，我們想要找到儘可能小的 \((s, t)\) 的一組解，那麼 \(t = \frac{n}{\gcd(a, n)}\)，若 \(ab \equiv m \pmod n\)，那麼 \(a\left(b + \frac{n}{\gcd(a, n)}\right) \equiv m \pmod n\)。
考慮將 \(m\) 分解，必存在最小的二元組 \((a, b)\) 使得同餘式成立，因此所有的合法解為：
\[\sum_{d \mid m}\frac{n - \frac{m}{d}}{\gcd(d, n)}
\]