環形連結串列I、II（含程式碼以及證明）

煜航發表於2023-02-12

環形連結串列

解題思路

  1. 定義兩個指標，一個快指標，一個慢指標，快指標每次移動兩個節點，慢指標每次移動一個節點。
  2. 從頭節點開始，讓快慢指標同時移動，如果連結串列中有環，那麼快慢指標一定會在某個節點相遇。
  3. 如果快慢指標相遇了，說明連結串列中有環，返回true。如果快指標移動到了null，說明連結串列中沒有環，返回false。

思考1：為什麼快慢指標能判斷是否有環

  • 如果連結串列中沒有環，那麼快指標會先於慢指標到達連結串列的尾部，也就是null，這時候我們就可以判斷連結串列中沒有環，返回false。
  • 如果連結串列中有環，那麼快指標會在環中不斷地追趕慢指標，就像兩個人在環形跑道上跑步，速度快的人總會追上速度慢的人。這時候，快指標和慢指標一定會在某個節點相遇，這時候我們就可以判斷連結串列中有環，返回true。
  • 為什麼快指標要每次移動兩個節點，慢指標要每次移動一個節點呢？這是為了保證快指標和慢指標的相對速度是一定的，如果快指標每次移動三個節點，慢指標每次移動一個節點，那麼快指標的速度就是慢指標的三倍，這樣可能會導致快指標在環中跳過慢指標，從而無法相遇。如果快指標每次移動一個節點，慢指標每次移動一個節點，那麼快指標和慢指標的速度就是一樣的，這樣也無法相遇。所以，快指標每次移動兩個節點，慢指標每次移動一個節點，是一種比較合理的選擇，可以保證快慢指標在環中一定會相遇。

程式碼實現

// 定義一個判斷連結串列是否有環的方法，接受一個頭節點作為引數
public boolean hasCycle(Node head) {
    // 如果頭節點為空，直接返回false
    if (head == null) {
        return false;
    }
    // 定義快慢指標，初始化為頭節點
    Node fast = head;
    Node slow = head;
    // 用一個迴圈來移動快慢指標
    while (fast != null && fast.next != null) {
        // 快指標每次移動兩個節點
        fast = fast.next.next;
        // 慢指標每次移動一個節點
        slow = slow.next;
        // 如果快慢指標相遇了，說明有環，返回true
        if (fast == slow) {
            return true;
        }
    }
    // 如果快指標移動到了null，說明沒有環，返回false
    return false;
}

環形連結串列II

解題思路

  1. 定義兩個指標，一個快指標fast，一個慢指標slow，都從頭節點head開始遍歷連結串列。
  2. 快指標每次走兩步，慢指標每次走一步，如果連結串列有環，那麼快慢指標一定會在環內相遇，否則快指標會先遍歷完連結串列（遇到null）。
  3. 如果快慢指標相遇，說明連結串列有環，此時將快指標重新指向頭節點head，慢指標保持在相遇節點，然後快慢指標都每次走一步，直到再次相遇，相遇的節點就是入環的第一個節點。即：從頭節點到入環節點的距離，等於從相遇節點繼續走到入環節點的距離。
  4. 如果快慢指標沒有相遇，說明連結串列無環，返回null。

舉個例子：

  1 -> 2 -> 3 -> 4
       ^         |
       |         v
       7 <- 6 <- 5
  • 這個連結串列中有一個環，從節點2到節點7。環的長度是6，入口節點是節點2。
  • 我們可以用快慢指標的方法，讓快指標從節點1開始，每次走兩步，慢指標從節點1開始，每次走一步，它們在節點7相遇，然後讓快指標從頭開始一步步走，慢指標保持在相遇節點開始一步步走，快慢指標再次在2節點相遇，所以2節點就是入環節點。

思考1：為什麼慢指標每次移動一步，快指標每次移動兩步，一定會在環中相遇而不是錯過？

假設連結串列的長度是L，環的長度是n，環的入口節點距離頭節點的距離是a，快慢指標在環中相遇的節點距離環的入口節點的距離是b，那麼有以下關係：

  • 當快慢指標相遇時，慢指標走過的距離是a+b，快指標走過的距離是a+b+k*n，其中k是快指標在環中繞的圈數。
  • 因為快指標的速度是慢指標的兩倍，所以快指標走過的距離是慢指標的兩倍，即2*(a+b) = a+b+kn，化簡得a+b = kn。
  • 這個式子的意思是，當快慢指標相遇時，慢指標走過的距離剛好是環的長度的整數倍，也就是說，慢指標在環中走了k圈，快指標在環中走了k+1圈。
  • 這樣，我們可以知道，快慢指標一定會在環中相遇，而不是錯過，因為快指標每次都會比慢指標多走一步，所以它們之間的距離每次都會縮小一步，直到相遇為止。

思考2：如何證明，從頭節點到入環節點的距離，等於從相遇節點繼續走到入環節點的距離？

假設從頭結點到環形入口節點的距離為x。 環形入口節點到fast指標與slow指標相遇節點距離為y。從相遇節點再到環形入口節點距離為z

  • 當快慢指標首次相遇時，慢指標走過的路程為x + y，快指標走過的路程為x + y + n (y + z)。
  • 由於快指標的速度是慢指標的兩倍，所以快指標走過的路程是慢指標的兩倍，即(x + y) * 2 = x + y + n (y + z)。
  • 化簡得到x + y = n (y + z)，即x = n (y + z) - y，再從n(y+z)中提出一個(y+z)來，得到x = (n - 1) (y + z) + z。而 y + z正好是環一圈的長度。
  • 這個式子的意義是，從頭節點到入環節點的距離，等於快慢指標相遇後，一個指標繼續走n-1圈，再加上從相遇點到入環節點的距離。
  • 當n=1時，即某一指標只走了一圈，那麼x = z，即從頭節點到入環節點的距離，等於從相遇節點繼續走到入環節點的距離。
  • 因此，如果我們讓一個指標從頭節點開始，另一個指標從相遇節點開始，每次都走一步，那麼他們最終會在入環節點相遇，這樣就找到了入環節點。

程式碼實現

    public ListNode detectCycle(ListNode head) {
        //如果連結串列為空或只有一個節點，直接返回null
        if (head == null || head.next == null) {
            return null;
        }
        //定義快慢指標
        ListNode fast = head;
        ListNode slow = head;
        //遍歷連結串列，直到快指標遇到null或快慢指標相遇
        while (fast != null && fast.next != null) {
            //快指標走兩步，慢指標走一步
            fast = fast.next.next;
            slow = slow.next;
            //如果快慢指標相遇，說明有環
            if (fast == slow) {
                //將快指標重新指向頭節點
                fast = head;
                //快慢指標都每次走一步，直到再次相遇
                while (fast != slow) {
                    fast = fast.next;
                    slow = slow.next;
                }
                //返回相遇的節點，即入環的第一個節點
                return fast;
            }
        }
        //如果快指標遇到null，說明無環，返回null
        return null;
    }

相關文章