校內講題。
傳統
Sheriruth
一個連通塊如果連不了邊，那麼一定形如 一棵內向樹 或者 一棵內向基環樹。前者只需要判斷祖先關係，後者需要討論是否在環上。
否則考慮一個點 \(u\) 如果有多條出邊 \((u,v_1),(u,v_2),\cdots,(u,v_m)\)，那麼 \(v_1,v_2,\cdots,v_m\) 會互相連邊形成一個團（無向完全子圖），並且此時 \(v_i\) 能到的所有點也會被合併到這個團中。
於是最後連通塊一定形如一個團和若干棵內向樹，其中每棵內向樹的根連向團中的某些點。大小為 \(s\) 的團上相異兩點 \(u,v\) 的路徑條數為 \(\sum_i(s-2)^{\underline i}\)，於是直接做就行了。注意特判如果 \(u\) 直接走到團上的 \(v\) 的情況。
構造
沒有改了的。
互動
World Ender
題解 markdown 流失了，看官方 beamer 的題解吧，大概是一樣的。
通訊
Broken Device
考慮相鄰兩位一組，用三進製表示 \(X\)，每組有損壞/0/1/2 四種情況。那麼損壞對應 \(00\)，\(0,1,2\) 對應 \(01,10,11\)。這樣構造能取到的上界為 \(3^{150/2-40}\) 大概是 \(5\times 10^{16}\)。
然後把所有位隨機打亂一下，這樣的話損壞的組的期望就會減少，期望上界會到 \(10^{19}\)。具體打亂做法就是讓 Anna 和 Bruno 共用一個隨機種子，這樣隨機打亂的結果是相同的。
考慮把損壞的段也利用起來，如果有一段是 \(\mathtt{X\_}\)，那麼可以填入 \(01\)；如果是 \(\mathtt{\_X}\)，可以填入 \(10\)。這樣就能過了。
因為是隨機打亂的，所以很難構造資料卡掉。
Message
參考了 u 群裡面的做法，這個做法不用關心資料包被纂改的情況。
首先肯定不能傳一個長度 \(S\) 的資訊，因為如果 \(S=1024\) 的話你至少要 \(1024+31=66\times 16-1\) 個 bit 來傳輸訊息和可能被纂改的位置的資訊，這樣你要在 \(1\) bit 之內傳入長度，這太難了。
所以可以先把 \(S\) 末尾加上形如 \(0111\cdots\)，形成長度為 \(1025\) 的二進位制串 \(S'\)，這樣的話我們把 \(S'\) 還原出來然後把最後一個 \(0\) 以及後面的位全刪掉就行了。
然後考慮如何使用 \(31\) 個 bit 來傳輸 \(31\) 位中哪些位是可能被纂改的。
我們把所有不會被纂改的位，也就是所有 \(C_i=0\) 的 \(i\) 拿出來，從小到大記為 \(p_0,p_1,\cdots,p_{15}\)。
注意到 \(16>\frac{1}{2}\cdot 31\)，所以可以構造一個唯一的最大值：具體地，如果我們將 \(p_i\) 向 \(p_{(i+1)\ \bmod\ 15}\) 連有向邊，那麼無論其餘 \(\{0,1,\cdots,31\}\setminus \{p_0,p_1,\cdots,p_{15}\}\) 中任意一個位置如何連出一條邊，這個圖都會構成一個內向基環樹。而 \(p_0,p_1,\cdots,p_{15}\) 為這個基環樹的唯一最大環。
那麼我們只需要考慮如何傳輸連邊的資訊：對於任意的 \(C_i=0\)，記錄 \(d_i=(p_{(i+1)\ \bmod 15}-p_i) \bmod 31\)，我們在前 \(d_i-1\) 個資料包的第 \(i\) 位傳 \(0\)，在第 \(d_i\) 個資料包的第 \(i\) 位傳 \(1\)。然後接收的時候就只需要對每一位 \(i\) 算出第一個 \(1\) 的位置 \(d'_i\)，然後 \(i\) 向 \((i+d'_i)\bmod 31\) 連邊就行了。這樣的話 \(C_i=0\) 的位連的邊一定是對的，\(C_i=1\) 的位連的邊可以任意。找到最大環就找到了所有 \(C_i=0\) 的位。
然後我們把 \(S'\) 中 \(1025\) 個 bit 塞進所有 \(C_i=0\) 的位的剩餘沒用到的位置即可。
(Un)labeled graphs
只需要還原點的編號即可得到整個圖。
新建一條長度為 \(\log n\) 的鏈來表示編號的二進位制，然後我們考慮如何確定鏈的方向，以及如何區分出這條鏈。
設多出來的點為點 \(A,B,C\)。點 \(A\) 向鏈上的所有點連邊；點 \(B\) 連向 \(A\) 和鏈首（也就是代表第 \(0\) 位的點）；然後將點 \(C\) 連向除了點 \(A\) 之外的所有點。
這樣的話，找到度數最大的點就是點 \(C\)；唯一不與 \(C\) 相連的就是點 \(A\)；與 \(A\) 相連的所有點就是點 \(B\) 和整條鏈；唯一與 \(A,C\) 相連且度數恰好為 \(3\) 的點為點 \(B\)。
可能有些特殊情況需要處理，但這是簡單的。
8 染色
首先進行黑白 \(2\) 種顏色是簡單的，於是不難想到每個點傳 \(2\) 個 bit，表示顏色在二進位制下的前兩位。這樣就可以做 \(L=4\times 10^5\)。
考慮所有度數 \(<8\) 的點，它們的顏色都可以用周圍點的顏色排除出來。於是我們只需要傳度數 \(\ge 8\) 的點的 bit，然後求出這些點的顏色後再拓撲出其餘點的顏色即可。
由於 \(\sum_i d_i=2m\)，於是 \(2\sum_i[d_i\ge 8]\le \frac{m}{2}\le 2.5\times 10^5\)。於是就做完了。
卡常。