9915, 9870
這是一年前寫的：https://www.becoder.com.cn/article/14590。
現在我在其基礎上，再補充這一年做的一些新題。
力推：https://www.cnblogs.com/rainybunny/p/15398779.html。
我先逗大家樂一下：
Ad-hoc 題可能不一定能找出實力最強的選手，但一定能找出最適合做出題人 npy 的選手。
P11277
構造一個長為 \(n\) 正整數序列 \(a\)，滿足恰有 \(k\) 組無序正整數對 \((i,j)\)，滿足 \(\max(a_i,a_j)\) 是 \(\min(a_i,a_j)\) 的倍數。你需要保證 \(a_i\le 2n-1\)。
部分分：\(k=0\)；\(k\le n-1\)。
先考慮 \(k=0\) 怎麼做，顯然就是要構造所有數都互質。直接從 \(n-1\) 到 \(2n-1\) 即可。
\(k\le n-1\)：這是比較難的部分。
我首先想到：構造一系列類似 \(x,2x,3x,...,px\) 的東西，每個代價是 \(\frac{p(p-1)}{2}\)。每次二分最大的 \(p\)，讓 \(k\) 不斷逼近 0 即可。
但是這樣細節比較多而且沒有很快的找 \(x\) 的方法。並且還有一個最大的問題：可能構造的 2 組互相滿足了倍數關係！直接完蛋！
讓 \(k\) 不斷逼近的思想是好用的。要最佳化我們的構造。
注意到題目沒有讓所有數不同。很快地想到等效構造：\(p\) 個 \(x\)！
如何使得這些 \(x\) 互質？使用 \(k=0\) 時構造的那些數即可。
到這裡就解決了 \(k\le n-1\) 的問題，對於 \(k\ge n\) 的部分，我們自然嘗試將 \(k\) 變小直到 \(k\le n-1\)：
一個觀察：如果一個數對中有 \(1\)，那麼其一定有貢獻。
每向序列中加入一個數 \(1\)（假設現在一共有 \(i\) 個），就會帶來 \(n-i\) 的貢獻。
一直加入 \(1\) 直到 \(k\le n-1\)，此題解決。
此題的思考方向：\(k=0\) 和 \(k\le n-1\) 的構造 -> 構造操作使得 \(k\le n-1\)。
P11145
\(m\in [2,10^{17}]\) 未知，你需要詢問不超過 2 次來確定 \(m\)。每次詢問給出 \(x\in [0,10^{18}]\)，返回 \(x\bmod m\) 的值。
一個性質：當 \(x<m,x\bmod m=x\)。
所以可以二分 \(x\) 來詢問，找到最大的 \(x\bmod m=x\)，\(m\) 既是 \(x+1\)。該方案詢問次數：\(\log V\)。
注意到 \(x\) 上限比 \(m\) 大。直覺告訴我們詢問的 \(x\) 必須非常大。（嘗試構造小的 \(x\) 無果）
又一個性質：\(m\mid (x-x\bmod m)\)。這裡的限制就非常強了！我們只需要讓兩次詢問的 \((x-x\bmod m)\) 的公因數唯一，就解決了！
事實上，這樣的 \(x\) 是不好找的。放棄這個方法。
不妨先詢問一次得到：\(m\mid (x-x\bmod m)\)。把後面那個東西減一，有：
所以第二次詢問必定會返回 \(m-1\)，此題結束。
此題的思考方向：先詢問使得 \(m\) 是一個數 \(k\) 的約數 -> 發現 \(k-1\) 返回的是 \(m-1\)。
P11132
構造一個 \(n\) 階排列，使得排列中：“所有的 \(n - m + 1\) 個長度為 \(m\) 的連續子串內最大值的最大公因數。”最大。
突破口：最大值。
必然有一些子串的最大值是 \(n\)。所以我們就需要讓其他子串的最大值都是 \(n\) 的約數。
先判掉把 \(n\) 放到中間就是所有子串的最大值的情況。
我們肯定希望這個 gcd 是 \(n\) 的不包含自身的最大因子 \(x\)，並且不能比 \(m\) 更大。下面給出一種構造方案證明一定可以。
首先我們需要所有子串的最大值都是形如 \(kx\le n\) 的形式，貪心地讓他們相隔儘量遠，都放在 \((k-1)m+1\) 的位置。
然後我們只需要把剩下的數放進去，並且使得他不是任何一個子串的最大值即可。從小到大放就可以了。
為什麼這樣一定可行，首先由於 \(x\mid n\)，所以每一段的大小都是相等的，每一段的第一個位置都是 \(kx\)，這一段後面跟的數都小於它，所以最大值也沒有被替代。
舉例：
當 \(n=12,m=3\)，構造如下：
\(*3,1,2,*6,4,5,*9,7,8,*12,10,11\)
注意標星號的位置，看看他們是不是完全包含了所有子串的最大值。
此題的思考方向：最大值 -> 列舉 \(n\) 的每個約數判斷是否合法 -> 發現 \(n\) 的最大不超過 \(m\) 的約數一定可以構造。
P11036
給定正整數 \(a\)，構造三個正整數 \(b,c,d\) 使得 \(a+b+c+d=\gcd(a,b)+\operatorname{lcm}(c,d)\)。你需要保證 \(b,c,d\le 1\,634\,826\,193\)。
首先嚐試：\(b=1\)，那麼要求：\(a+c+d=\operatorname{lcm}(c,d)\)。
自然地想到讓 \(c,d\) 與 \(a\) 有關，最好右邊是個 \(2a+k\) 的形式。那麼構造：\(c=2,d=a+2\)。這組構造當 \(2\nmid a\) 時成立。
自然考慮 \(2\mid a\) 的情況。其它做法留給打表哥。
類似 P11277 的思想：能不能回到 \(2\nmid a\) 的情況？比如，我把 \(a\) 拆成：\(2^w\times k\)，滿足 \(k\) 是奇數。顯然一定可以拆成這樣的形式。
把 \(c,d\) 都調整：\(c=2^{w+1},d=2^w\times k+2^{w+1}\)。帶入原始式子：
不難證明後面的 lcm 的結果是：\(2d\)。把 \(a,c,d\) 帶進去：
\(a+c+d=2d\)
顯然 \(a+c=d\)，於是得證。
此題的思考方向：數學直覺 先確定難搞的 gcd，考慮 lcm -> 發現構造只滿足 \(2\nmid a\) -> 構造 \(2\nmid a\) 的情況。
P11022
小 R 有一張 \(n\) 個節點和 \(m\) 條的邊簡單無向圖，節點的編號依次為 \(1 \sim n\)。她想要為圖中的每個節點分配黑色或白色的顏色，使得：
- 有至少 \(1\) 個黑色節點和 \(1\) 個白色節點；
- 對於任何一對點對 \((u, v)\)，只要 \(u\) 和 \(v\) 的顏色不同，就存在至少 \(2\) 條從 \(u\) 到 \(v\) 的不同的簡單路徑。
突破口：至少 2 條路徑。想到構造一個環（\(\ge 3\)），只要兩點之間的路徑要經過環，那麼他們就一定有 2 條以上的路徑。
我們發現如果這個圖沒有環一定無解。
一個環把整個圖劃分成了若干個不相關的子圖，我們想到讓每個子圖顏色相同。這樣內部就不用管了。
考慮結合起來，環上每個點的子圖交替染色即可。
考慮一種特殊情況：環上一個點 \(x\) 的子圖和環上另外一個點 \(y\) 相連。此時如何染色？
讓這個子圖和 \(y\) 斷開，即使得 \(x\) 和 \(y\) 的子圖染不同顏色，並欽定這個子圖不屬於 \(y\) 的子圖。
容易證明這樣構造合法。上述情況本質上是環上接了另外一個環。
此題的思考方向：參照環 -> 環外所有子圖內部染相同顏色 -> 結合起來交替染色。
P10678
給定正整數 \(n\) 和每個點 \(i\) 的度數 \(d_i\)，你需要構造一棵樹，最小化其直徑。
很容易想到菊花圖的構造方式。麻煩的是對於每個點的度數的限制。
先把類似題掛上來：CF1092E
CF1990C
很多題目都滿足一個性質：操作若干次後恆不變。根據這個可以秒掉一堆 Ad-hoc 題。這個題雖然只有 *1500，但其每次操作都有一定的變化，只不過變化是有規律的。較前面那種純模擬題要有趣一些。
打表發現：原陣列操作常數次後形態變化穩定。
於是先暴力操作常數次，然後觀察後面每次操作如何變化。
自己構造一組數量級在 10 左右的資料並打表，發現每次數的種類和相對位置不變，整體向右平移 1，超過 \(n\) 的位置永遠消失。
然後就可以統計貢獻了，這個不是本題的難點。
此題的思考方向：操作若干次後陣列穩定 -> 觀察每次操作的變化 -> 維護貢獻。