動態開點線段樹說明
作者：Grey
原文地址：
說明
針對普通線段樹，參考使用線段樹解決陣列任意區間元素修改問題
在普通線段樹中，線段樹在預處理的時候，需要申請 4 倍大小的陣列空間來存放劃分的區域，
而本文介紹的動態開點線段樹，它和普通線段樹的區別是，動態開點線段樹不需要像普通線段樹那樣提前申請 4 倍大小的資料空間來存放劃分割槽域，等到實際使用的時候，再來申請。
先講一種比較簡單的動態開點線段樹，這種線段樹只支援單點的更新和查詢。
即支援如下兩個方法
void add(i, v);
該方法表示在 i 上的值加上 v;
int query(int s, int e)
該方法用於獲取 s 到 e 區間內的累加和資訊。
該線段樹只需要定義一個節點資料結構即可
public static class Node {
public int sum;
public Node left;
public Node right;
}
其中 sum 表示 Node 所在區間的累加和，left 表示節點左孩子資訊，right 表示節點右孩子資訊。
線段樹初始化過程也只需要
public static class DynamicSegmentTree {
public Node root;
public int size;
public DynamicSegmentTree(int max) {
root = new Node();
size = max;
}
}
size 表示線段樹支援的範圍，這個範圍從線段樹一開始初始化的時候設定好（編號1 到 編號size就是區間範圍）。和普通線段樹不一樣的地方在於，節點只建立了 root 節點，未初始化所有區間。
接下來看add方法，
public void add(int i, int v) {
add(root, 1, size, i, v);
}
這個方法呼叫了線段樹內部的私有add方法，
// c-> cur 當前節點！表達的範圍 l~r
// i位置的數，增加v
// 潛臺詞！i一定在l~r範圍上！
private void add(Node c, int l, int r, int i, int v) {
if (l == r) {
c.sum += v;
} else { // l~r 還可以劃分
int mid = (l + r) / 2;
if (i <= mid) { // l ~ mid
if (c.left == null) {
c.left = new Node();
}
add(c.left, l, mid, i, v);
} else { // mid + 1 ~ r
if (c.right == null) {
c.right = new Node();
}
add(c.right, mid + 1, r, i, v);
}
c.sum = (c.left != null ? c.left.sum : 0) + (c.right != null ? c.right.sum : 0);
}
}
這個add方法的幾個引數分別代表
c : 表示 add 操作的區間代表節點是多少
l...r 表示任務區間，由於初始化 size，所以在呼叫公開的 add 方法時候，l = 1， r = size，表示在初始化區間範圍內操作。
i：表示要操作的位置
v： 表示要增加的值
整個 add 私有方法邏輯也比較簡單，核心程式碼
// i 在節點左邊
if (i <= mid) {
// 如果節點的左樹為空，則建立新節點
if (c.left == null) {
c.left = new Node();
}
add(c.left, l, mid, i, v);
} else {
// i 在節點右邊
// 如果節點右樹為空，則建立新節點
if (c.right == null) {
c.right = new Node();
}
add(c.right, mid + 1, r, i, v);
}
// 最後當前節點要匯聚左右樹的結果，之所以要判空是因為左右樹可能不需要都建立出來
c.sum = (c.left != null ? c.left.sum : 0) + (c.right != null ? c.right.sum : 0);
查詢方法的邏輯也比較簡單
public int query(int s, int e) {
return query(root, 1, size, s, e);
}
呼叫了內部的一個私有 query 方法，
private int query(Node c, int l, int r, int s, int e) {
if (c == null) {
return 0;
}
if (s <= l && r <= e) {
return c.sum;
}
int mid = (l + r) / 2;
if (e <= mid) {
return query(c.left, l, mid, s, e);
} else if (s > mid) {
return query(c.right, mid + 1, r, s, e);
} else {
return query(c.left, l, mid, s, e) + query(c.right, mid + 1, r, s, e);
}
}
}
這個私有方法的幾個引數說明如下
c：表示要操作的線段樹的代表節點是什麼;
l...r 是劃分的區間範圍
s...e 是任務的區間範圍
核心邏輯如下
// 如果任務的區間已經包含了劃分的區間，直接返回結果
if (s <= l && r <= e) {
return c.sum;
}
// 否則，去左右區間拿累加和
int mid = (l + r) / 2;
if (e <= mid) {
return query(c.left, l, mid, s, e);
} else if (s > mid) {
return query(c.right, mid + 1, r, s, e);
} else {
// 整合成自己的累加和返回
return query(c.left, l, mid, s, e) + query(c.right, mid + 1, r, s, e);
}
整個支援單點更新的動態線段樹的完整程式碼如下(含對數器程式碼)
// 只支援單點增加 + 範圍查詢的動態開點線段樹（累加和）
public class Code01_DynamicSegmentTree {
public static class Node {
public int sum;
public Node left;
public Node right;
}
// arr[0] -> 1
// 線段樹，從1開始下標!
public static class DynamicSegmentTree {
public Node root;
public int size;
public DynamicSegmentTree(int max) {
root = new Node();
size = max;
}
// 下標i這個位置的數，增加v
public void add(int i, int v) {
add(root, 1, size, i, v);
}
// c-> cur 當前節點！表達的範圍 l~r
// i位置的數，增加v
// 潛臺詞！i一定在l~r範圍上！
private void add(Node c, int l, int r, int i, int v) {
if (l == r) {
c.sum += v;
} else { // l~r 還可以劃分
int mid = (l + r) / 2;
if (i <= mid) { // l ~ mid
if (c.left == null) {
c.left = new Node();
}
add(c.left, l, mid, i, v);
} else { // mid + 1 ~ r
if (c.right == null) {
c.right = new Node();
}
add(c.right, mid + 1, r, i, v);
}
c.sum = (c.left != null ? c.left.sum : 0) + (c.right != null ? c.right.sum : 0);
}
}
// s~e範圍的累加和
public int query(int s, int e) {
return query(root, 1, size, s, e);
}
// 當前節點c，表達的範圍l~r
// 收到了一個任務，s~e這個任務！
// s~e這個任務，影響了多少l~r範圍的數，把答案返回！
private int query(Node c, int l, int r, int s, int e) {
if (c == null) {
return 0;
}
if (s <= l && r <= e) {
return c.sum;
}
int mid = (l + r) / 2;
if (e <= mid) {
return query(c.left, l, mid, s, e);
} else if (s > mid) {
return query(c.right, mid + 1, r, s, e);
} else {
return query(c.left, l, mid, s, e) + query(c.right, mid + 1, r, s, e);
}
}
}
public static class Right {
public int[] arr;
public Right(int size) {
arr = new int[size + 1];
}
public void add(int i, int v) {
arr[i] += v;
}
public int query(int s, int e) {
int sum = 0;
for (int i = s; i <= e; i++) {
sum += arr[i];
}
return sum;
}
}
public static void main(String[] args) {
int size = 10000;
int testTime = 50000;
int value = 500;
DynamicSegmentTree dst = new DynamicSegmentTree(size);
Right right = new Right(size);
System.out.println("測試開始");
for (int k = 0; k < testTime; k++) {
if (Math.random() < 0.5) {
int i = (int) (Math.random() * size) + 1;
int v = (int) (Math.random() * value);
dst.add(i, v);
right.add(i, v);
} else {
int a = (int) (Math.random() * size) + 1;
int b = (int) (Math.random() * size) + 1;
int s = Math.min(a, b);
int e = Math.max(a, b);
int ans1 = dst.query(s, e);
int ans2 = right.query(s, e);
if (ans1 != ans2) {
System.out.println("出錯了!");
System.out.println(ans1);
System.out.println(ans2);
}
}
}
System.out.println("測試結束");
}
}
接下來看一個使用動態開點線段樹來解決的一個問題
即：LeetCode 315. Count of Smaller Numbers After Self
注：本題可以用歸併排序，樹狀陣列，有序表來解，也可以用動態開點線段樹來解。
主要思路如下
以如下陣列為例來說明
nums = {5,8,7,4,2,9}
首先，初始化一個 List，這個 List 用於存放每個位置的右側比其小的數有幾個，List 的大小和原始陣列一樣
List<Integer> ans = new ArrayList<>(nums.length);
ans 在初始化的時候，均設定為 0 ，表示，所有位置都還沒計算過。
ans = [0,0,0,0,0,0]
接下來對原始陣列進行排序（注意：排序的時候，不能只使用值來排序，要帶上這個值所在的位置，這樣排序後才不會丟失該值在原始陣列中的位置資訊）
int[][] arr = new int[n][];
for (int i = 0; i < n; i++) {
// 要記錄值，也要記錄位置，防止排序後找不到值對應的位置在哪裡
arr[i] = new int[] {nums[i], i};
}
// 排序按值排序
Arrays.sort(arr, Comparator.comparingInt(a -> a[0]));
排序後，arr 按如下順序組織
{值：2,原始位置：4}
{值：4,原始位置：3}
{值：5,原始位置：0}
{值：7,原始位置：2}
{值：8,原始位置：1}
{值：9,原始位置：5}
接下來初始化開點線段樹，線段樹的size就是原始陣列的大小，且每個位置都是0，
按順序遍歷這個 arr 陣列，最小值 2 被取出，其原始位置是 4，且 4 號位置右側沒有比自己更小的數，接下來在開點線段樹中把把 4 號位置的值加1，表示 4 號位置被處理過了，線上段樹中查4號位置以後並沒有任何標記記錄，說明沒有比這個數更小的數了，直接設定4號位置的ans值為0
ans = [0,0,0,0,0,0]
線段樹中
seg = [0,0,0,0,1,0]
接下來是 3 號位置的4，線上段樹中查到，有一個比它小的，直接設定到 ans 中，然後線上段樹中把 3 號位置也標記為 1，說明處理過，
ans = [0,0,0,1,0,0]
線段樹中
seg = [0,0,0,1,1,0]
接下來是0號位置的5， 線上段樹中，查到右側有兩個標記過的，說明有兩個比它小的數，直接在 ans 中把 0 號位置設定為 2， 然後線上段樹中把 0 號位置標記為 1 ，說明處理過，此時
ans = [2,0,0,1,0,0]
線段樹中
seg = [1,0,0,1,1,0]
接下來是 2 號位置的 7， 線上段樹中，查到右側有兩個標記過的，說明有兩個比它小的數，直接在 ans 中把 2 號位置設定為 2， 然後線上段樹中把 2 號位置標記為 1 ，說明處理過，此時
ans = [2,0,2,1,0,0]
線段樹中
seg = [1,0,1,1,1,0]
接下來是 1 號位置的 8， 線上段樹中，查到右側有三個標記過的，說明有三個比它小的數，直接在 ans 中把 1 號位置設定為 3， 然後線上段樹中把 1 號位置標記為 1 ，說明處理過，此時
ans = [2,3,2,1,0,0]
線段樹中
seg = [1,1,1,1,1,0]
接下來是 5 號位置的 9， 線上段樹中，查到右側沒有標記過的，說明沒有比它小的數，直接在 ans 中把 5 號位置設定為 0， 然後線上段樹中把 5 號位置標記為 1 ，說明處理過，此時
ans = [2,3,2,1,0,0]
線段樹中
seg = [1,1,1,1,1,1]
以上就是整個流程。
核心程式碼如下
public static List<Integer> countSmaller(int[] nums) {
if (nums == null || nums.length == 0) {
return new ArrayList<>();
}
int n = nums.length;
List<Integer> ans = new ArrayList<>(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
ans.add(0);
}
int[][] arr = new int[n][];
for (int i = 0; i < n; i++) {
// 要記錄值，也要記錄位置，防止排序後找不到值對應的位置在哪裡
arr[i] = new int[] {nums[i], i};
}
Arrays.sort(arr, Comparator.comparingInt(a -> a[0]));
DynamicSegmentTree dst = new DynamicSegmentTree(n);
for (int[] num : arr) {
ans.set(num[1], dst.query(num[1] + 1, n));
dst.add(num[1] + 1, 1);
}
return ans;
}
其中 DynamicSegmentTree 結構就是前面提到的動態開點線段樹的實現。