非科班程式設計師才不知道的矩陣Matrix

有時，我們想用新技術解決舊技術的包袱，問題是新技術會帶來更多的包袱。新技術的一個問題是，人們還不知道它到底有多糟糕。 -《選擇乏味的技術》

此手記基於慕課網liuyubobobo老師的，感謝老師

• 大概來說：矩陣是對向量的擴充，一個矩陣表示一組向量
• 行數=列數->方陣
• 方陣有很多特殊的性質
  

運算

• 基本運算性質
• A+B=B+A
• (A+B)+C=A+(B+C)
• 存在矩陣O，滿足:A+O=A
• 存在矩陣-A，滿足:A+(-A)=O
• -A唯一，-A=-1·A
• (ck)A=c(kA)
• (c+k)·A=c·A+k·A
• k·(A+B)=k·A+k·B

矩陣和向量想乘

• 矩陣A的列數必須和向量u的元素個數一致！
• 矩陣A的行數沒有限制
• 矩陣T實際上將向量a轉換成了向量b！可以把矩陣理解成向量的函式！
  

矩陣和矩陣的乘法

• 矩陣A的列數必須和矩陣B的行數一致！
• A是m（行數）*k（列數）的矩陣；B是k（行數）*n（列數）的矩陣，則結果矩陣為m（行數）*n（列數）的矩陣
• 矩陣乘法不遵守交換律！AB≠BA 很有可能根本不能相乘，即使可以相乘，結果也不一樣！
• 矩陣乘法遵守：
  • (A·B)·C=A·(B·C)
  • A·(B+C)=A·B+A·C
  • (B+C)-A=B·A+C·A
  • 對任意rc的矩陣A，存在cx的矩陣O，滿足：A*O(cx)=O(rx),反之亦然。
  • 矩陣的行數列數相等時，可冪。只有方陣才可以進行矩陣的冪運算！
  • （A+B)² ≠ A²+2AB+B²
    

變換矩陣

• 讓每個點關於y軸翻轉
  
• 讓每個點關於x軸翻轉

• 讓每個點關於原點翻轉（x軸，y軸均翻轉）
  
  
• 沿x方向錯切（反之亦然）
  
• 旋轉角度
  
  
• 平移操作->仿射變換

平移矩陣不是正交矩陣。所有的矩陣運算都是線性變換，所以是仿射、線性變換。可逆，但是逆不等於其轉置，所以滿秩非正交

單位矩陣

讓每個點的橫座標擴大1倍，縱座標擴大1倍

矩陣的逆

• 矩陣中AB=BA=I，則稱B是A的逆矩陣，記做：B=A^(-1）
• A稱為可逆矩陣，或者叫非奇異矩陣（non-singular)，大多數
• 有些矩陣是不可逆的！稱為不可逆矩陣，或者奇異矩陣（singular)
• 如果BA=I，則稱B是A的左逆矩陣。
• 如果AC=I，則稱C是A的右逆矩陣。
• 如果一個矩陣A既存在左逆矩陣B，又存在右逆矩陣C，則B=C
• 對於矩陣A，存在矩陣B，滿足BA=AB=l，矩陣A可逆
• 可逆矩陣一定為方陣！
• 非方陣一定不可逆！
• 轉置:行變列，列變行。單位矩陣轉置後還是它自己。
  
  
  

列視角的好處（空間概念的形成）

• 由空間推導變換矩陣
• n維空間應該用n個軸來定義，方陣