T1 邦布照相 [貪心]
Description
給定長度為 \(n\) 的序列和一個 \(k\)，在序列中找到字典序最小的且是 \(k\) 的排列的子序列，輸出答案。
\(k\le n\le 2\times 10^5\)。
Solution
考慮貪心，遍歷序列，用一個類似單調棧的東西維護答案，如果這個數在棧中出現過，便跳過，如果沒出現過，先把棧頂的大於等於它的，且後面還有的數彈出去，放到後面選，然後再入棧。
顯然這樣是最優的。
Summary
雖然思路很簡單，但考場上想太複雜了，導致耗時過長。
T2 聖誕樹裝飾 [記憶化搜尋]
Description
給定一棵二叉樹，除葉子外都有左右兩個兒子。
有些葉子有權值 \(1\)，有些為 \(0\)。
定義一棵樹是合法的當且僅當對於每個點，左右子樹權值和之差不超過 \(1\)。
可以進行任意次操作，每次可以將一個葉子的權值移動到另一個葉子，求最小運算元，或報告無解。
Solution
無論怎麼移動，所有權值的總和是不變的，所以我們可以自頂向下搜尋來計算貢獻。
- 設 \(f(u,j)\) 表示以 \(u\) 為根的子樹 需要 有多少權值，整棵樹的權值記為 \(tot\)，
- 從 \(f(root,tot)\) 開始搜，如果 \(tot\) 為偶數，說明兩邊只有一種情況，\(f(son,tot/2)\)，
如果為奇數，則有兩種情況，分別搜尋並取最小值即可。 - 邊界：葉子節點，若 \(tot\) 和該葉子的權值不同，記 \(1\) 貢獻，否則不計，無解則是 \(tot> 1\)。
- 最後答案除以二即可，因為取出一個權值可以和加上一個權值合併為同一操作，但是計算了重複了。
Summary
並非什麼高階演算法，主要是思維難度，考場上要避免過度依賴高階演算法，導致想得太複雜。
T3 新聞 [差分，並查集]
Description
給定一個字串和 \(m\) 個操作區間，每次操作可以選擇一個區間，並將字串中這個區間內的所有字元變成它的後繼（a->b，z->a），問是否可以將字串變為迴文串。
Solution
對原字串進行差分，\(a_i=s_i-s_{i-1}\)，因為要變成迴文串，則每兩個點是要對稱的，假設分別為 \(i\) 和 \(j\)，那麼 \(j=n-i+1\)，我們發現，當且僅當對於每對 \(i\)，\(j\)，都有 \((a_i+a_{j+1}) \bmod 26 = 0\) 時，該串滿足迴文串。
所以一開始我們可以將每對 \(a_i\) 和 \(a_{j+1}\) 合併，然後對於每個操作區間，由於原序列的區間修改等價於差分序列兩點修改，所以我們將 \(a_l\) 和 \(a_{r+1}\) 合併即可。
最後對於每個連通塊，判斷權值和 \(\bmod 26\) 是否為 \(0\)，是則合法，否則輸出無解。
Summary
並查集好題，有一定的思維難度，轉換很巧妙。
T4 匹配 [圖的構建]
Description
在一個二維平面上有 \(n\) 個點，兩個點若橫座標或縱座標相等，則稱它們是可匹配的。
問平面上的點是否可以兩兩匹配。
Solution
將每個原圖的點記為圓點，把座標系中每個橫縱座標看成一個點，記為方點，每個圓點與它的橫縱座標（方點）分別連邊，問題轉換為在途中是否能找出 \(n/2\) 條端點互不相同的，端點都是圓點的，長度為 \(2\) 的鏈。
先求出該圖的生成樹，也可以直接 dfs，就沒這麼麻煩。自底向上匹配。
如果當前的是圓點，跳過。
如果是方點，將它的兒子節點（一定是圓點）且是沒匹配過的點兩兩配對，如果最後剩一個，將剩下的那個和該方點的父親（也一定是圓點）匹配。
最後檢查一遍所有點是否都被匹配過即可。
需要離散化。
Summary
解法有很多，重點在圖的構建，所以建模思維很重要。