題意
給定一個 DAG，你需要刪掉一個點使得原圖的最長路徑的長度最短，求出答案和方案。
\(n\le 5\times10^5,m\le 10^6\)
分析
DAG 的一條路徑有一個優美的性質：一定是從拓撲序小的點指向拓撲序大的點。
考慮按照拓撲序從小到大處理每一個點。假設我們處理到了點 \(x\)，它的拓撲序是 \(i\)，設拓撲序小於 \(i\) 的點為左部點，拓撲序大於 \(i\) 的點為右部點。考慮將答案的貢獻分為三部分：左部點內部、右部點內部、左部點到右部點。前兩種貢獻都很好算，第一種做正圖 DP（設結果為 \(f_i\)），第二種做反圖 DP（設結果為 \(g_i\)）。至於第三種，把所有從左部點指向右部點的邊單獨拎出來（當然先把與 \(x\) 相連的入邊刪掉，注意到出邊不會有貢獻所以不用特別處理），那麼經過一條邊 \(u\rightarrow v\) 的最長路徑是 \(f_u+g_v+1\)，求最小值即可。
我們需要支援插入、刪除、求最小值，可刪堆/set 都可以。時間複雜度一個老哥。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<set>
#include<ctime>
#include<random>
#include<cassert>
#define x1 xx1
#define y1 yy1
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define ITIE cin.tie(0);
#define OTIE cout.tie(0);
#define PY puts("Yes")
#define PN puts("No")
#define PW puts("-1")
#define P0 puts("0")
#define P__ puts("")
#define PU puts("--------------------")
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define gc getchar
#define pc putchar
#define pb emplace_back
#define un using namespace
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define rep(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);++a)
#define per(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);--a)
#define reprange(a,b,c,d) for(int a=(b);a<=(c);a+=(d))
#define perrange(a,b,c,d) for(int a=(b);a>=(c);a-=(d))
#define graph(i,j,k,l) for(int i=k[j];i;i=l[i].nxt)
#define lowbit(x) (x&-x)
#define lson(x) (x<<1)
#define rson(x) (x<<1|1)
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof x)
//#define double long double
//#define int long long
//#define int __int128
using namespace std;
typedef long long i64;
typedef unsigned long long u64;
using pii=pair<int,int>;
bool greating(int x,int y){return x>y;}
bool greatingll(long long x,long long y){return x>y;}
inline int rd(){
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-48;ch=getchar();}return x*f;
}
inline void write(int x,char ch='\0'){
if(x<0){x=-x;putchar('-');}
int y=0;char z[40];
while(x||!y){z[y++]=x%10+48;x/=10;}
while(y--)putchar(z[y]);if(ch!='\0')putchar(ch);
}
bool Mbg;
const int maxn=5e5+5,maxm=4e5+5,inf=0x3f3f3f3f;
const long long llinf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,m;
struct Graph{
vector<int>G[maxn];
int f[maxn],in[maxn];
int dfn[maxn],dfncnt;
void add(int x,int y){
G[x].emplace_back(y),in[y]++;
}
void solve(){
queue<int>q;
rep(i,1,n)if(!in[i])q.push(i);
while(!q.empty()){
int nw=q.front();q.pop(),dfn[nw]=++dfncnt;
for(int u:G[nw]){
f[u]=max(f[u],f[nw]+1);
if(!(--in[u]))q.push(u);
}
}
}
} A,B;
/*
a 左部點內的答案
b 右部點內的答案
c 連線左部點和右部點的答案
*/
multiset<int,greater<int> >a,b,c;
int d[maxn];
inline void solve_the_problem(){
n=rd(),m=rd();
rep(i,1,m){
int x=rd(),y=rd();
A.add(x,y),B.add(y,x);
}
A.solve(),B.solve();
a.insert(-inf),b.insert(-inf),c.insert(-inf);
rep(i,1,n)b.insert(B.f[i]);
rep(i,1,n)d[A.dfn[i]]=i;
int ans=inf,id=0;
rep(i,1,n){
int x=d[i];
b.erase(b.find(B.f[x]));
for(int u:B.G[x]){
c.erase(c.find(A.f[u]+B.f[x]+1));
}
int res=max({*a.begin(),*b.begin(),*c.begin()});
if(res<ans)ans=res,id=x;
a.insert(A.f[x]);
for(int u:A.G[x]){
c.insert(A.f[x]+B.f[u]+1);
}
}
write(id,32),write(ans);
}
bool Med;
signed main(){
// freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);
// fprintf(stderr,"%.3lfMB\n",(&Mbg-&Med)/1048576.0);
int _=1;
while(_--)solve_the_problem();
}
/*
*/