有趣的演算法世界---什麼是演算法 (轉)

有趣的演算法世界---什麼是演算法 (轉)[@more@]

 

  什麼是演算法？
  如果您想進入這個世界的話，您就不應該不知道，這個美麗的世界，她究竟是什麼？
  什麼是演算法？是呀，這是個問題。它的意義，可比於那個“To be，or not to be”，如果我們也如哈姆雷特般的徘徊起來：）……

  我們不妨先回顧上次的一個問題，SAT問題。
  當然，考慮問題總應從最簡單處入手啦。看下面簡單的例子，10個邏輯變數的：

  C0 : -x0 V -x3 V x5 

  C1 : -x1 V -x6 V x7 

  C2 : -x5 V x8  V x9

  這個子句集合可以都為真嗎？呵呵，要解決它，我們是有辦法的，要不就這樣，10個邏輯變數，我們給出一組賦值：

  TRUE，TRUE，TRUE，TRUE，TRUE，TRUE，TRUE，TRUE，TRUE，TRUE

  去測試C0、C1和C2，如果子句都是取值為真，則這組賦值滿足要求，返回它，結束。否則，我們試下一組：

  TRUE，TRUE，TRUE，TRUE，TRUE，TRUE，TRUE，TRUE，TRUE，FALSE

  ……

  如果搜尋所有的賦值後，沒有使這個集合的所有子句都為真的賦值，則輸出此集合不可滿足。

  這是我們的一個思路。當然，我們可以寫出一個“描述精確步驟的字元文字”，它表示了我們一步一步解決問題的辦法。我們加以歸納，這就是演算法的定義，即一步一步求解問題的方法，它有如下的特徵：

 （1）必為一有限文字的表示； 

  （2）每一步必有可能在有限的時間內機械的完成。

  這個描述，固然很好理解，但作為基本的概念，演算法可有形式化的定義？我們知道，如果是有窮自動機，它的演算法是有形式化定義的，而一般意義的演算法，我還未見到。自己也想應如何定義，卻不知所終。

  但對於演算法之內涵，還是有可討論的地方。我先來問您：

  演算法可否可以無窮？

  “哈哈，我寫了一個‘演算法’，執行到世界末日也不會結束……”，這是個演算法嗎？是嗎？不是嗎？呵呵，您是如何想的，不妨說說看。我的看法，當然是；演算法當然可以無窮執行。（這裡我們講演化計算的康老師有個例子：你寫個鐘錶的演算法，它永不停息的走下去……不也是個演算法嗎？）

  那麼，我來問第二個問題：

  是什麼使某些問題很難解決，而又使另一些問題很容易解決？

  舉例來說，上次的例子，求自然數前n項和，比如n=1000，這個問題計算機可在一瞬間計算出來，而1000個變數的SAT問題，計算機只怕有些難以計算了。為什麼？是什麼因素起了決定作用，使的我們的演算法如此的不同？我們可充分的理解了它的實質嗎？毫無疑問目前還沒有，幾十年來的研究成果就是，我們有了一個標準，把問題劃分為幾類，我們知道什麼是難題。僅知道它是難題。

  問題遠不止這些。但我們不會畏懼未知！

  事實上，就是因為這些困難的存在，就是因為有無限的荒原，有戈壁，有沙灘，我們的這個世界才有了她獨特的魅力……我相信無數的人希望在這裡開拓出一片綠色的原野，希望在這裡勞作，冒險，品嚐爭取、擁有或失敗的歡樂！

  呵呵，您準備好了嗎？是否有充分的信心，隨我進入這個世界？如果是的話，我再給您說說我眼中的這個世界，她的獨特，優美，搖曳多姿……

  這個世界，與她的兄弟姐妹有著千絲萬縷的關係。

  首先，演算法的世界，因數學模型的不同會有大不同。
  我們來看這個例子，不要說它簡單哦：）：

  e.g.1  求方程的根：  ax+b=0  (a!=0)
 
  問問自己，您會如何解決？使用計算機，我想您肯定會這樣想：
  存在x1，使得 a*x1+b<0, 存在x2,使得 a*x2+b>0,那麼，在區間[x1,x2]內使用折半法迭代搜尋！
  如果您這樣解決，我一點都不奇怪。事實上，我的第一反應，也是這樣的解法。這個演算法的數學背景是，誤差控制內的數值方法。
  當然，非常優秀的演算法。也適合本題。

  但是，如果您把它留給任何一個學過簡易方程的小學生的話，我想他（她）的解法毫無疑問是這樣的：
  ax+b=0
  ax=-b
  x=-b/a  (a!=0)
  呵呵，怎麼樣？您或許會說，“哦……是呀，如果手算（換句話，人算：），我當然也這樣解決。可是，用計算機呀……”。
  用計算機就不可以了嗎？
  您注意到，人解決問題的方式是邏輯思維，不是按步長搜尋或迭代的。如果我們一開始考慮的數學模型是另外一個樣子的話，我們的演算法將是完全不一樣的：

  定義：
  個體域： 實數集R
  函詞：  add(a,b): a+b
  mul(a,b): a*b

  謂詞：  Equal(a,b): a==b
  規則：  Any x,y in R, Equal(add(x,y),0)->Equal(x,add(0,-y))
  Any x,y,z in R, Equal(mul(x,y),z) and ┐(Equal(y,0))->Equal(x,mul(z,1/y))

  規則集中給出的是最重要的兩個，其他的就沒有加進來；但已經可以討論問題了。我們依據這個邏輯，使用類似與機器證明的演算法，完全可以推出方程的解。

  您認為怎麼樣？或許，對於方程您還不在意數學模型的問題，但是，做一個大型的專家系統，您必須來細緻的考慮這個問題了。

  後注：這個問題我的本意不是讓您定義一個f，引數為a，b，返回 -b/a ：）。呵呵，或許例子過於簡單了。可我需要您著重體現出“計算”的過程。

  其次，演算法的世界因計算機體系結構的不同而大不同。

  我們仍然考慮上次的一個簡單的問題，求和：）。現在為：

  e.g.2  有n個資料，求和

  您如何來解決？呵呵，是不是我問的很傻？或者，您怪我把您看的太傻？哈哈，沒有沒有，如果您問多數的員（包括在校學生的準程式設計師），多半人會說：

  一個迴圈：  sum=0;
   For i=0 To n-1 Do 
     sum+=a[i];
　　其中a[]存放資料。如果他又是個細心的人，他會考慮sum會不會資料，這樣他或許會考慮一個資料結構來存放結果。

　　沒有問題的演算法，一定程度上滿足了題目的要求。但是，您的演算法是基於單處理機的！這個工作，如果您的公司裡有一個機群，您或許不應該使用這個演算法了，您需要一個並行演算法。那麼，您需要把問題分割，並考慮通訊的開銷。演算法就會完全改變了！

　　最後，一個淺顯的特點，演算法的世界因問題的規模不同而大不同。
　　一開始就分析的ＳＡＴ問題是個很好的例子。１０個邏輯變數我們或許可以窮舉，但窮舉絕對不是本問題的可採取的演算法！否則它的時間開銷將是按指數級增長的！

　　兼於我做了個這個問題的專案，演化計算來解決的，我後面還將更全面的分析這個問題。包括爬山法，Ａ演算法，Ａ*演算法，當然還有最後的解決方案，演化計算。

　　總而言之，演算法世界可謂多姿又多采。因為我對於她的熱愛，所以我自願來做嚮導，雖然這個嚮導不好，但仍然盼望您不要因此拒絕風景的美麗哦！

　　下次將討論數學，演算法的淵源。

　　本帖的題目：

　　國王的城堡（percy lee提出：）：
　　有個國王，他的領土內有n個城堡。國王疑心很重，他認為敵人有可能偷襲並佔領任何一個城堡。因此他給他的將軍和財政大臣發了一道旨意，命令他們共同完成一項工程，在這n個城堡間修建大道，以保證任何k個城堡被敵軍佔領後，我方的城堡仍然可以透過大道相互支援。將軍毫無疑問要不惜一切代價完成使命，而財政大臣的任務就是使所有的花費盡可能低。這項工程應該如何完成？（假設花費只和道路的長度有關）