最常見的LCA（樹上公共祖先）都是線上演算法，往往帶了一個log。有一種辦法是轉化為“+-1最值問題”得到O(n)+O(1)的複雜度，但是原理複雜，常數大。今天介紹一種允許離線時接近線性求LCA的方法。
一個點和其他點的LCA必定是它到root路徑上的所有節點之一，而另一個節點剛好在哪個節點下，LCA就是誰：
如圖，標粗的箭頭為當前搜尋的路徑，左邊為已經搜尋完畢的路徑，右邊的黑色節點尚未搜尋。現在要求節點cur和節點a的LCA，顯然a是什麼顏色，LCA就也是這個顏色，如果a還沒有被搜尋到，那就不處理，把這個詢問留給搜尋到a的時候處理（那個時候cur肯定已經訪問過了）。
那怎麼做這個染色呢？我們對所有節點做一個並查集，每當一個節點搜尋完畢，處理完了自己的答案，就把自己合併到父親fa裡面，那麼在我搜完之後，父節點fa搜完之前，fa的其他所有兒子的公共祖先都是fa了：
當cur節點搜尋完畢後，回到fa，講cur修改為橙色併入到fa裡（而且我們使用了並查集，此後查詢cur的子節點也將得到fa），之後在fa搜尋其他兒子節點時，他們和cur子樹裡的節點的LCA一定是fa，而當fa全部搜尋完成後，他又被併入上級節點，以此類推，就可以在一遍dfs中就獲取所有詢問的答案。
參考程式碼：
int N, Q, p[MAX], qa[MAX], qb[MAX], ans[MAX];
vector<int> has[MAX];
struct ufs {
int in[MAX];
ufs() {
std::iota(in, in + N, 0);
}
void merge(int v, int u) { //! v合併給u
in[v] = u;
}
int find(int u) {
return in[u]==u ? u : (in[u] = find(in[u])); //! 帶路徑壓縮
}
};
class Tree
{
std::vector<int> son[MAX];
ufs f;
void getans(int u) {
for (auto v: son[u]) {
getans(v); f.merge(v, u); //! 處理子樹後，將其併入
}
for (auto i: has[u]) {
auto v (qa[i]^qb[i]^u); //! 該詢問的另一個點
if (f.find(v) != v) ans[i] = f.find(v);
}
}
public:
#define root 0
Tree() {
for (int i = 1; i < N; ++i) son[p[i]].push_back(i);
getans(root);
}
#undef root
};
main() {
scanf("%d%d", &N, &Q);
for (int i = 1; i < N; ++i) scanf("%d", p + i);
for (int i = 0; i < Q; ++i) {
scanf("%d%d", qa + i, qb + i);
has[qa[i]].push_back(i);//! 把詢問歸到qa和qb下
has[qb[i]].push_back(i);
}
auto tr = new Tree;
for (int i = 0; i < Q; ++i)
printf("%d\n", ans[i]);
}