關於LCA的幾點想法

fengwu2005發表於2021-07-05

倍增

這是最最最常見的寫法了，一個fa[N][logN]的陣列直接搞定

時間複雜度也不算太高

預處理 $ O(nlogn) $ 如果你想卡的話，可以卡到 $ O(nlogh) $ h為樹的深度

查詢 $ O(2*logn) $ 最壞，平均 $ O(logn) $

$ code $

int dfn[N],cnt;
int dep[N],fa[N][21],siz[N];
void dfs_first(int x){
	dfn[x]=++cnt;
	siz[x]=1;
	for(re i=head[x];i;i=nxt[i]){
		int y=to[i];
		if(y==fa[x][0])continue;
		fa[y][0]=x;
		for(re i=1;i<=20;i++)fa[y][i]=fa[fa[y][i-1]][i-1];//cout<<fa[y][i]<<endl;
		dep[y]=dep[x]+1;
		dfs_first(y);
		siz[x]+=siz[y];
	}
}
int LCA(int x,int y){
	if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
	for(re i=20;i>=0;i--)
		if(dep[fa[x][i]]>=dep[y])
			x=fa[x][i];
	if(x==y)return x;
	for(re i=20;i>=0;i--)
		if(fa[x][i]!=fa[y][i])
			x=fa[x][i],y=fa[y][i];
	return fa[x][0];
}

注意：：：：dep[1]要賦值為1,否則求取LCA時就全是0了

RMQ

這個真是神級演算法了

利用RMQ的原理找到LCA

為什麼呢？ 因為在兩個點的之間，最近的公共祖先一定是，這兩個點的dfs序中，深度最小的那個

這樣問題就轉化成了在區間上求最小值，也就是RMQ問題

最最最恐怖的是他的時間複雜度

預處理與倍增相同 $ O(nlogn) $ 不能卡到h

但是查詢快爆了 $ O(1) $

$ code $

int dfn[N],cnt;
int dep[N],fa[N];
int st[N][21],lg2[N];
void dfs_first(int x){
	dfn[x]=++cnt;
	st[cnt][0]=x;
	for(re i=head[x];i;i=nxt[i]){
		int y=to[i];
		if(y==fa[x])continue;
		fa[y]=x;
		dep[y]=dep[x]+1;
		dfs_first(y);
	}
}
void get_st(){
	for(re i=2;i<=n;i++)lg2[i]=lg2[i>>1]+1;
	for(re j=1;j<=20;j++){
		for(re i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++){
			int r=i+(1<<j-1);
			st[i][j]=dep[st[i][j-1]]<dep[st[r][j-1]]?st[i][j-1]:st[r][j-1];
		}
	}
}
int LCA(int x,int y){
	x=dfn[x];y=dfn[y];
	if(x>y)swap(x,y);
	int tmp=lg2[y-x+1];
	return dep[st[x][tmp]]<dep[st[y-(1<<tmp)+1][tmp]]?st[x][tmp]:st[y-(1<<tmp)+1][tmp];
}

所以這個還是比倍增稍微快一點的

樹鏈剖分

這個更快不信你往下看

就是簡單的根據樹鏈剖分的top一直往上跳

我們分析一下複雜度

預處理 $ O(2*n) $ 這個完全沒有爭議

查詢，這個查詢總起來是比倍增快一些的

因為一般的題不會給你出一顆滿二叉樹，所以我們每次向上跳，會遠遠少於logh

畢竟如果每次節點都在輕鏈上，高度就是 $ \frac{n}{2} $ ，沒有爭議，比倍增快

除非他卡你，就算卡你，你也是 $ \frac{n}{2} $，快快快快爆了，好像沒那麼快啊

但是還是挺快的，就是快，快，快，快，快

所以查詢的複雜度是 $ O(logn) $ 但是實際應用時，比這個快多了

$ code $

int dfn[N],cnt,fa[N];
int siz[N],son[N],dep[N],top[N];
void dfs1(int x){
    dfn[x]=++cnt;siz[x]=1;son[x]=0;
    for(re i=head[x];i;i=nxt[i]){
        int y=to[i];
        if(y==fa[x])continue;
        fa[y]=x;dep[y]=dep[x]+1;
        dfs1(y);siz[x]+=siz[y];
        if(!son[x]||siz[y]>siz[son[x]])son[x]=y;
    }
}
void dfs2(int x,int f){
    top[x]=f;
    if(son[x])dfs2(son[x],f);
    for(re i=head[x];i;i=nxt[i]){
        int y=to[i];
        if(y==son[x]||y==fa[x])continue;
        dfs2(y,y);
    }
}
int LCA(int x,int y){
	//cout<<x<<" "<<y<<" "<<top[x]<<" "<<top[y]<<endl;
    while(top[x]!=top[y]){
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
        x=fa[top[x]];
    }
    return dep[x]<dep[y]?x:y;
}

所以就完事了

所以好像昂還有一個tarjan的離線演算法

好像弱爆了，所以我基本不用他

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