使用蒙特卡羅模擬期權定價

數量技術宅發表於2022-04-20

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期權是一種合約，它賦予買方在未來某個時間點以特定價格買賣資產的權利。這些被稱為衍生品的合約的交易有多種原因，但一種常見的用法是來對衝當資產價格以不利方式變動，所產生的風險敞口。

期權，即買入或賣出的權利，也是有價格的。 Black Scholes 模型描述了一種確定期權公平價格的方法，但還有許多其他方法可以確定價格。

期權，及其價值

歐式期權只有在未來達到預定日期（稱為到期日）後才能使用（或行使），可以用字母 T 表示。

看漲期權賦予期權持有人以已知價格購買的權利。如果資產的到期價格（用 ST 表示）高於執行價格 K ，則看漲期權會賺錢，否則就一文不值。

CT=max(0,ST−K)

同樣，看跌期權是出售資產的權利。當資產在到期日價格ST低於執行價格K時，看跌期權會賺錢，否則就一文不值。

PT=max(0,K−ST)

以下是到期時看跌期權和看漲期權的收益圖。我們的資產價格是 x 軸，收益是 y 軸。

風險中性估值

為了使用蒙特卡羅模擬為期權定價，我們使用風險中性估值，其中衍生品的公允價值是其未來收益的預期價值。

因此，在到期前的任何日期，用 t 表示，期權的價值是其到期收益預期的現值 T 。

Ct=PV(E[max(0,ST−K)])

Pt=PV(E[max(0,K−ST)])

在風險中性估值下，我們假設標的資產將平均獲得無風險利率。因此，要計算任何時間 t 的期權收益，我們要按該利率對收益進行貼現。現在我們有一種計算現值 PV 的方法。

上面的公式中，除了St ，所有這些變數都是已知的，因此St是我們的模擬將提供的。

為了給期權定價，我們將建立一個模擬，為資產 St 最終價格提供許多觀察結果。通過平均所有的回報，我們得到了對回報的期望值。

模擬資產價格

Black Scholes 模型中使用的股票價格行為模型假設我們有一個已知的波動性，我們有一個無風險利率，並且資產的價格遵循幾何布朗運動。

幾何布朗運動是一個隨機過程，其中隨機變數的對數服從正態分佈。這種型別的過程通過對數正態分佈來分配價格。

所以現在我們有一個計算時間 T 時刻資產價格的方法：

為此，我們需要知道：

r 是我們要貼現的無風險利率。 σ 是波動率，即股票回報的年化標準差。 (T-t) 給了我們年化的到期時間。例如，對於 30 天選項，這將是 30/365=0.082... S 是在時間 t 標的資產的價格。 ϵ 是我們的隨機值。它的分佈必須是標準正態（均值為 0.0，標準差為 1.0）

期權定價

為了在模擬過程中為期權定價，我們生成資產可能在到期時的許多價格，計算每個生成價格的期權收益，將它們平均，然後對最終價值進行貼現。

在建立完整模擬之前，我們將通過一個包含10次執行的小示例。假設我們有一個具有以下價值的資產：S = 100.00 美元和 σ = 20%，我們想為半年到期的看漲期權定價，執行價為 110.00 美元，我們的無風險利率是 1%。

隨機變數	資產價格	收益	貼現收益
1.3620	120.64	10.64	10.58
-0.7784	89.13	0.00	0.00
-0.9408	87.11	0.00	0.00
0.2227	102.69	0.00	0.00
-0.0364	98.99	0.00	0.00
-1.4303	81.28	0.00	0.00
-0.8306	88.47	0.00	0.00
1.5155	123.28	13.28	13.21
-1.5679	79.71	0.00	0.00
-1.6718	78.55	0.00	0.00

將折扣收益值平均，得出我們的看漲期權價格為 2.38 美元。我們執行的模擬越多，價格就越準確。

現在我們可以看到模擬如何生成價格，讓我們構建一個可以為期權定價的小型 Python 指令碼，看看它是否與真實情況相符。讓我們看一下實際的例子。

為真實期權定價

在下圖中，我們有一個谷歌看漲期權的報價，行使價為 860.00 美元，將於 2013 年 9 月 21 日到期。我們還可以看到它的最後交易價格是14.50 美元。這個例子給了我們嘗試定價時，期權的一個目標價格。

此處未指定的是波動性、無風險利率、當前的股票價格。波動率是一個相當複雜的話題，因此就本文而言，我們將假設我們知道該特定期權的波動率為 20.76%。而股票當前價格可以通過檢視各種來源找到，為857.29 美元。

對於無風險利率，我們可以使用與我們選擇的到期時間相同的美國 LIBOR 利率；我們的期權在大約三週後到期，由於沒有三週利率，我們將使用兩週利率來近似，即 0.14%。

接下來是Python程式碼的實現，首先我們將寫下我們將如何生成資產價格。

def generate_asset_price(S,v,r,T):
    return S * exp((r - 0.5 * v**2) * T + v * sqrt(T) * gauss(0,1.0))

我們知道所有的輸入值，所以我們可以像這樣設定它們：

S = 857.29 # underlying price
v = 0.2076 # vol of 20.76%
r = 0.0014 # rate of 0.14%
T = (datetime.date(2013,9,21) - datetime.date(2013,9,3)).days / 365.0

print generate_asset_price(S,v,r,T)
>>> 862.1783726682384

現在我們需要能夠計算這個生成價格的回報。回想一下之前我們說過看漲期權在到期時價值是 ST-K 或 0，我們將其表示為一個函式，並應用於我們生成的資產價格。

def call_payoff(S_T, K):
    return max(S_T - K, 0.0)

print call_payoff(862.18, 860)
>>> 2.1799999999

完整的模擬

現在讓我們將各模組代組合，併為 Google 期權定價。

import datetime
from random import gauss
from math import exp, sqrt

def generate_asset_price(S,v,r,T):
    return S * exp((r - 0.5 * v**2) * T + v * sqrt(T) * gauss(0,1.0))

def call_payoff(S_T,K):
    return max(0.0,S_T-K)

S = 857.29 # underlying price
v = 0.2076 # vol of 20.76%
r = 0.0014 # rate of 0.14%
T = (datetime.date(2013,9,21) - datetime.date(2013,9,3)).days / 365.0
K = 860.
simulations = 90000
payoffs = []
discount_factor = math.exp(-r * T)

for i in xrange(simulations):
    S_T = generate_asset_price(S,v,r,T)
    payoffs.append(
        call_payoff(S_T, K)
    )

price = discount_factor * (sum(payoffs) / float(simulations))
print 'Price: %.4f' % price