摘要：本文介紹了動態規劃法的基本概念，通過詳細解析動態規劃法的特徵，給出判斷問題是否使用動態規劃法結題的思路。
本文分享自華為雲社群《五大基礎演算法--動態規劃法》，作者： 大金（內蒙的）。
一、基本概念
動態規劃法，和分治法極其相似。區別就是，在求解子問題時，會儲存該子問題的解，後面的子問題求解時，可以直接拿來計算。
專業的說法是：
對於一個規模為n的問題，將其分解為k個規模較小的子問題（階段），按順序求解子問題，前一子問題的解，為後一子問題的求解提供了有用的資訊。在求解任一子問題時，通過決策求得區域性最優解，依次解決各子問題。最後可以通過簡單的判斷，得到原問題的解。
說法有些晦澀難懂，我給大家解釋下：
階段：求解第n個子問題稱為第n個階段。動態規劃是按照順序去求解子問題的，這裡子問題的求解順序很重要。
狀態：在求解第n個階段時，已求解n-1個階段的解，稱為狀態。
決策：在求解第n個階段時，根據狀態和計算規則，可以得到第n個階段時解。
二、基本特徵
動態規劃法所能解決的問題一般具有以下幾個特徵：
1) 大問題可分解性
該問題可以分解為若干個規模較小的問題，即該問題具有最優子結構性質。
2) 子問題易解決性
該問題的規模縮小到一定的程度就可以容易地解決
3) 解可合併性
利用該問題分解出的子問題的解可以合併為該問題的解；
4) 子問題重疊性
當計算出某個子問題的解時，後續多個問題都需要計算該子問題的解，所以在計算某個子問題的解，將其儲存，就節省了分治法重複計算的時間。
三、一些誤解
1.狀態轉移方程
很多部落格都說什麼狀態轉移方程，感覺說的很高大上，一般解題上來就是狀態轉移方程是xxxx，程式碼是xxxx，翻譯下是什麼意思呢？
在求解第n個子問題的時候，通過已求解n-1個階段的解和計算規則，可以得到第n個階段時解。
即是最新的狀態=目前的狀態+決策。
2.初始化
很多題目解題的時候都說初始化，這並不是動態規劃法的步驟。應該正確的去理解這些操作。動態規劃在劃分子問題求解順序時，基本是先求解易求解最小的子問題，在由這些已經求解的階段+計算規則，就能直接求得第n階段的解。所以初始化的含義是，求得初始階段的解。
3.邊界條件
一般題目會說邊界是啥，可以理解為怎麼判斷所有的子問題已經求解結束了。正常人也不會寫while（true）吧，你總得讓程式結束，判斷你已經解決好這個問題了。
四、動態規劃法的基本步驟
step1 分解：
將一個問題分解為多個子問題，需要注意子問題解決的順序，應該先求解易求解的子問題，且後續的階段可以通過前面的階段+決策得到。
step2 狀態轉移：
通過得到的規律，寫出狀態轉移方程。
第n階段=當前狀態+決策（前n個階段解和計算規則）
step3 寫程式碼：
將最先算的階段計算出來，中間階段通過狀態轉移方程計算狀態，直到所有階段計算結束。
step4 得到解：
所有階段計算結束，可以通過簡單的統計，例如Max，Min等遍歷階段的值，得到最後的解。
五、經典問題
好記性不如爛筆頭，有一些適用動態規劃法的問題，可以幫我們不斷強化的解題思想。在解決問題時，希望大家可以注意判斷題目的解決思路，看是否符合動態規劃法的四個特徵，這樣不斷強化，才能將演算法掌握。
最長迴文子串
下面附上我的題解：
//動態規劃法兩個基本要素：最優子結構性質和子問題重疊性質。 //很多答案寫了初始化和邊界條件，個人認為你要分清楚他的目的是什麼。 //很多初始化和邊界條件，是因為狀態轉移方程，是需要初始化的子問題的解，從而避免重複計算，說白了還是子問題重疊和最優子結構問題。 //我們應該注重某一個問題的重疊子問題分解和狀態最優的決策分析。 //解題思路: //計算某個字串時, 如果它首尾字元相等，則它是不是迴文，取決於去掉頭尾之後的字串是否為迴文串。 // 如果它首尾字元不相等，則它一定不是迴文 //leetcode submit region begin(Prohibit modification and deletion) class Solution { public String longestPalindrome(String s) { int len = s.length(); // 特判 if (len < 2){ return s; } int maxLen = 1; int begin = 0; // 1. 狀態定義 // dp[i][j] 表示s[i...j] 是否是迴文串，現在表示全部為0，不是迴文串 boolean[][] dp = new boolean[len][len]; char[] chars = s.toCharArray(); // 2. 子問題計算順序：先計算短字串，在計算長字串，同時根據已求得的短字串或者計算規則，可以得到長字串的解。 // 注意：s表示計算的元素順序。 // 0 1 2 3 4 // 0 xx s1 s2 s4 s7 // 1 xx s3 s5 s8 // 2 xx s6 s9 // 3 xx s10 // 4 xx // 為什麼這麼寫呢，因為你要保證保證計算某個元素時，通過狀態轉移方程能得到左上角元素的dp[][]。 // 填表規則：先一列一列的填寫，再一行一行的填，保證計算某個元素時，它左上方的單元格已經被計算出了結果 // 填表規則：當然你也可以由左往右一行一行寫，這樣也能保證計算某個元素時，它左上方的單元格已經被計算出了結果 for (int j = 1;j < len;j++){ for (int i = 0; i < j; i++) { // 頭尾字元不相等，不是迴文串 if (chars[i] != chars[j]){ dp[i][j] = false; }else { // 相等的情況下 // 因為考慮頭尾去掉以後沒有字元剩餘，或者剩下一個字元的時候，肯定是迴文串 if (j - i -1 <= 1){ dp[i][j] = true; }else { // 頭尾相等，中間有大於1個元素，這個時候，我們無法直接判斷他是不是迴文，但是我們可以通過狀態轉移方程去判斷 // 其實這個就是在計算s8這個元素時，我們無法判斷dp[1][4]在1和4位元素相等時候，整個字串是否是迴文。 // 所以要通過s4去判斷，s4是迴文，s8就是。s4不是，那s8就不是。 dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1]; } } // 只要dp[i][j] == true 成立，表示s[i...j] 是否是迴文串 // 此時更新記錄迴文長度和起始位置 if (dp[i][j] && (j - i + 1 > maxLen)){ maxLen = j - i + 1; begin = i; } } } // 3. 初始化 // 很多答案寫了這個，這一步，我們細想，其實完全沒有必要。 // 因為主對角線，值是可以直接判斷出來的。 // 而且在求解過程中，我們的狀態轉移方程不會用到這個值。因為只有主對角線會用到這幾個值。 // 而且單個元素的子問題解，我們並不需要。 // 所以，即使我這步初始化放到計算之後，甚至是直接去掉，也完全不影響結果。大家可以自己試一下 // for (int i = 0; i < len; i++) { // dp[i][i] = true; // } // 4. 返回值 return s.substring(begin,begin + maxLen); } }