本文翻譯於 CKKS EXPLAINED, PART 5: RESCALING，主要介紹CKKS方案中最重要的技術- rescaling，重縮放技術
介紹
在CKKS的前一篇文章 CKKS Part4: CKKS的乘法和重線性化 中，我們瞭解了密文乘法在CKKS中的工作原理，為什麼需要重新線性化輸出以及保持恆定的密文大小，以及如何做到這一點。
儘管如此，正如我們將看到的，我們需要一個名為“重縮放”的最終操作來管理噪音並避免溢位。這將是本系列的最後一篇理論性文章，在下一篇也是最後一篇文章中，我們將用Python實現所有內容！
為了瞭解它是如何工作的，我們首先要有一個整體圖，然後再詳細瞭解它是如何工作的。
模數鏈的高階檢視
到目前為止，我們已經深入挖掘了CKKS的細節，但對於這一點，我們將後退一步。CKKS使用我們所說的level，級數，也就是說，在噪聲太大而無法正確解密輸出之前，所允許的有限乘法次數。
你可以想象這是一個油箱。最初，油箱充滿了汽油，但當你執行越來越多的操作時，汽油將被排空，直到沒有剩餘的汽油，就不能再做任何事情。同樣的道理也適用於同態加密方案：你先從一定量的汽油開始，但當你進行乘法時，汽油越來越少，直到用完為止，你不能再執行任何操作。
下圖說明了這一點。當你開始的時候，你的初始油箱已經滿了。但當你們執行乘法和重縮放時，你們會降低階數，這相當於消耗了你們的一些汽油。如果你從L層開始，表示為\(q_L，q_{L−1}，…，q_1\)，處於級別\(q_l\)意味著還剩下\(l\)個乘法，執行一個乘法會將級別從\(q_l\)降低到\(q_{l−1}\).
現在，一旦你的汽油用完了，就像在現實生活中一樣，你可以把油箱加滿，這樣你就可以在路上走得更遠。此操作稱為bootstrap，引導，本文將不介紹它。因此，如果我們假設我們不可能重新加註油箱，那麼在使用有限級同態加密方案時，必須考慮一個有趣的方面：您需要提前知道將要進行的乘法數量！
事實上，就像在現實生活中一樣，如果你打算走很遠的路，你將需要比你只是在附近走走更多的汽油。同樣的道理也適用於這裡，根據需要執行的乘法次數，您必須調整油箱的大小。但是油箱越大，計算就越繁重，你的引數也就越不安全。事實上，就像在現實生活中一樣，如果你需要一個更大的油箱，它會更重，這會使事情變得更慢，同時也會降低安全性。
我們不會詳細討論所有細節，但知道CKKS方案的難度取決於比率\(N/q\)，N是多項式的階數，也就是向量的的大小；q是多項式係數模數，即我們的油箱大小。
因此，我們需要的乘法越多，油箱就越大，我們的引數就越不安全。為了保持相同的安全強度，我們需要增加N，這將增加我們操作的計算成本。（不是增加q麼？）
下面的圖，從 Microsoft Private AI Bootcamp 中，展示了在使用CKKS時必須考慮的折衷，顯示了多項式次數和模數的安全性之間的關係。為了保證128位的安全性，我們必須增加多項式次數，即使我們不需要它提供的“額外插槽”【是明文槽麼？】，因為增加模數可能會使我們的引數不安全。
因此，在我們進入更理論的部分之前，讓我們看看關鍵的收穫是什麼：
1、重縮放和噪音管理可以被視為管理一個油箱，你從一個初始預算（油量）開始，使用（做乘法）後預算（油量）將會減少，如果汽油用完了，你就什麼都做不了。
2、你需要提前知道你將進行多少次乘法，這將決定油箱的大小，這將影響你將使用的多項式次數的大小。
背景
現在，我們看到了整體圖，讓我們深入瞭解為什麼以及如何運作。
如果你正確地記得 CKKS Part2: CKKS的編碼和解碼 第二部分關於編碼的內容，如果我們有一個初始向量z，它在編碼過程中乘以一個縮放因子Δ，以保持一定的精度。
因此，包含在明文μ和密文c的基本值是\(Δ.Z\)，所以當我們把兩個密文c和c'相乘時，最後的結果是\(z.z'.\Delta ^{2}\)，所以它包含了縮放因子的平方，當縮放因子指數增長時，經過幾次乘法後可能會導致溢位。此外，正如我們之前看到的，每次乘法後噪聲都會增加。
因此，重縮放操作的目標實際上是保持縮放因子恆定，同時減少密文中存在的噪聲。
普通做法
那麼我們如何解決這個問題呢？要做到這一點，我們需要了解如何定義q。記住，這個引數q被用作多項式環\(R_{q}=Z_{q}\left[ X \right]/\left( X^{N}+1 \right)\)中係數的模數。
正如高階檢視中所述，q比作一個汽油箱的大小，我們將逐步進行計算，清空該汽油箱。
如果我們假設我們用一個縮放因子Δ，進行L次乘法，那麼我們將q定義為：\(q=\Delta ^{L}.q_{0}\)，其中\(q_{0}\geq \Delta\)，這將決定小數部分之前需要多少整數位。實際上，如果我們假設小數部分需要30位精度，整數部分需要10位精度，我們將設定：
一旦我們為整數和小數部分設定了我們想要的精度，選擇了我們想要執行的乘法的數量L，就能相應地求得q，接下來很容易定義重縮放操作，我們只需對密文進行分割和取整。
事實上，假設我們在一個給定的級數\(l\)，那麼模是\(q_l\)。我們有密文\(c\in R_{q_{_{l}}}^{2}\)，然後我們可以定義從\(l\)級到\(l-1\)：
因為\(q_l=\Delta ^{l}.q_{0}\)
因此，通過這樣做，我們可以做到兩件事：
1、一旦我們解密了兩個密文c，c′的乘積，以及對應底層明文值\(\Delta .z,\Delta .z'\)，應用重縮放後，我們有\(\Delta .z.z'\)，因此，只要我們在每次乘法後重縮放，在整個計算過程中，縮放因子保持不變。
2、噪聲被減少了，因為我們既分割底層的明文值，也分割了解密時的噪聲，如果你記得清楚的話，它的形式是μ+e，（此時解密，再舍入得到的u不是原先的明文值）。因此，重縮放也可以達到降噪的目的。
所以，如果我們把所有的東西都放在一起，要在CKKS中進行乘法，你需要做三件事：
1、做乘法：\(c_{mult}=\mbox{C}_{Mult}\left( c,c' \right)=\left( d_{0},d_{1},d_{2} \right)\)
2、重線性化：\(c_{\mbox{re}lin}=\mbox{Re}lin\left( \left( d_{0},d_{1},d_{2} \right),evk \right)\)
3、重縮放：\(c_{rs}=R\mbox{S}_{l->l-1}\left( c \right)\)
如果你做好上面的工作，使用正確的金鑰就可解密成功！差不多了，下面還有最後一個細節我們要講。
CRT，中國剩餘定理
所以我們得到了我們需要的一切，但有一個技術問題：計算是在大數上完成的！事實上，我們已經知道，操作是在大模數\(q_l=\Delta ^{l}.q_{0}\)上完成的。例如，想象一下，小數部分需要30位精度，整數部分需要10位精度，乘法需要10位精度（即進行10次乘法），那麼我們有\(q_{L}=\Delta ^{L}.q_{0}=2^{30\cdot 10+40}=2^{340}\)。
因為我們有時會計算有大系數的多項式，比如均勻取樣得到的多項式，然而一些計算不適合常用的64位系統，所以我們必須找到一種方法使其工作。
這就是中國剩餘定理的由來！這個定理表明，如果我們有L個互素數\(p_{1},...,p_{L},p=\prod_{l=1}^{L}{p_{l}}\)，然後對映：$$Z\ /pZ\ ->\ Z/ p_{1}Z\times \ ...\ \times Z/ p_{L}Z:\ x\left( \mbox{mod}\ p \right)\ ->\left( x\left( \mbox{mod}/ p_{1} \right),\ ...\ ,x\left( \mbox{mod}\ p_{L} \right) \right)$$，是一個環同構，即如果你想在大環\(Z\ /pZ\)上做算術運算，那麼你可以在小環\(Z\ /p_lZ\)上執行，這樣就不會在執行計算時超過64位的問題了。
所以在實際中有\(q_{L}=\Delta ^{L}.q_{0}\)，我們選擇\(p_{1},...,p_{L}\)，其中\(p_l約等於\Delta ，q_0\)是遠大於\(\Delta\)的素數，然後設定\(q_{L}=\prod_{l=1}^{L}{p_{l}.q_{0}}=q_0*p\)。
這樣，我們就可以使用CRT完成上面描述的小技巧，從而能夠執行大模數運算。必須稍微修改重縮放操作：\(R\mbox{S}_{l->l-1}\left( c \right)=\left\lfloor \frac{q_{l-1}}{q_{l}}.c \right\rfloor\left( \mbox{mod}\; q_{l-1} \right)=\left\lfloor p_{l}^{-1}.c \right\rfloor\left( \mbox{mod}\; q_{l-1} \right)\)
因此，我們在本文中看到了什麼是重縮放，為什麼需要它，以及如何在實踐中實現它。在下一篇也是最後一篇文章中，我們將把所有內容放在一起，用Python編寫一個類似CKKS的同態加密方案！