UPDATE: \(\footnotesize\text{2024-8-6}\)，重修文章格式。
\(\text{Manacher}\) 來啦！
\(\text{Manacher}\) 並沒有什麼前置知識，比 \(\text{KMP}\) 簡單多了。
前置處理
\(\text{Manacher}\) 演算法用於解決迴文串相關問題，先看幾個基本概念：迴文中心、迴文半徑，這些看字面意思就能猜到。
還有一個重要問題：對於迴文串，有長度為奇數或長度為偶數之分，即奇迴文串和偶迴文串。顯然兩種迴文串需要分開進行處理，因為奇迴文串的迴文中心是一個字元，但偶迴文串的迴文中心是在兩個相鄰字元之間的，那我們看看能不能一致處理。
不難想到，既然偶迴文串的的迴文中心在兩個相鄰的字元之間，那我們不妨往每兩個相鄰字元之間插入一個虛擬的字元，比如 \(\texttt{\#}\)。
比如說對於偶迴文串 \(\texttt{abba}\)，我們將他成 \(\texttt{\#a\#b\#b\#a\#}\)，這樣這個偶迴文串就變成了一個奇迴文串，它的迴文中心就變成 \(\texttt{\#}\) 了！現在所有迴文串都變成奇迴文串了，接下來我們就可以一致處理了。
（至於頭尾為何各放一個，後文再講）
Manacher 演算法
\(\text{Manacher}\) 演算法，可以在 \(O(n)\) 的複雜度下處理出以每個字元（或兩個字元之間）為迴文中心的最大回文半徑 \(rad[]\)。
先說明一下回文半徑的定義：如果這個迴文串的迴文中心為 \(o\)，右端點為 \(r\)，那麼這個迴文串的迴文半徑 \(rad=r-o+1\)，也就是說迴文半徑要算上回文中心。
那麼我們開始吧！首先思考樸素做法，顯然我們可以列舉迴文中心，再不斷同時往兩邊擴充套件，擴充套件到不同時就找到了最遠的左、右端點了，這個演算法叫做中心擴充套件演算法，時間複雜度 \(O(n^2)\)，程式碼就不放了，很好打。
同樣注意到我們可以在此基礎上二分迴文半徑，接著用子串雜湊 \(O(1)\) 比較，時間複雜度降到 \(O(n\log n)\)。
會議我們的 \(\text{KMP}\) 演算法是如何最佳化時間複雜度的：重複利用已知的資訊，我在 \(\text{KMP}\) 的文章中提過，這種思想叫做增量法，同時這也是 dp 思想的體現。
那我們考慮有什麼資訊可以重複利用？那顯然是迴文啊！那回文又有什麼性質呢？對稱啊！所以發現如果我們之前已經擴充套件到這個字元過，那前面就一定有和當前的字元對稱的內容，那該字元顯然也會擁有前面與它對稱的字元的迴文半徑。
比如說字串 \(s=\texttt{babcbab}\)，當我們列舉到 \(s[6]\) 時（倒數第二個字元），顯然這裡已經被 \(s[4]\)（中間的 \(\texttt{c}\)）擴充套件過。由中點公式，與它對稱的字元是 \(s[2\times 4-6]=s[2]\)，顯然我們前面已經處理出 \(rad[2]\) 了，\(rad[2]=2\)，所以 \(rad[6]\) 就至少為 \(2\) 了，當然還需要從迴文半徑為 \(3\) 開始繼續擴充。
但注意到我們只是對稱到了前面計算過的點，並不保證能完全對稱到整個迴文子串，比如說對於字串 \(t=\texttt{babcbad}\)，在列舉到 \(s[6]\) 時（倒數第二個字元），雖然可以透過之前 \(s[4]\)（中間的 \(\texttt{c}\)）對稱到 \(s[2\times 4-6]=s[2]\)，但是 \(rad[6]\) 卻不能到 \(rad[2]\)（自己看一下是不是），為什麼呢？
因為雖然迴文中心可以對稱過來，但是 \(s[4]\) 的 \(rad\) 不夠長，\(s[7]\) 無法對稱過去，所以這樣做就無法保證整個迴文串都能對稱過去，解決方法就是只能利用以 \(s[4]\) 為迴文中心的最長迴文串的右端點以內的資訊，也就是說 \(rad[6]\) 不能直接等於 \(rad[2]\)，還要跟在以 \(s[4]\) 為迴文中心的最長迴文串的右端點以內的可擴充套件的最長長度取 \(\min\)。
形式化的，設我們所利用的迴文串的迴文中心為 \(o\)，右端點為 \(r\)，現在列舉到 \(s[i]\) 且 \(s[i]<r\)（即可以利用是以前的資訊），那麼：
接著繼續中心擴充套件即可。
解釋：\(\min\) 的一個引數是對稱過去的字元所對應的 \(rad\)，由中點公式得到；而 \(\min\) 的第二個引數是在 \(r\) 及以內的可以擴充套件的最長長度，相信經過前面的講解你應該也懂了。
那在列舉的過程中同時不斷更新 \(o\) 和 \(r\) 即可。
看一眼程式碼：
int n;
char a[N],s[N<<1];
void manacher(){
// 特殊處理
int cur=0;
s[0]='@';
s[++cur]='#';
for(int i=1;i<=n;i++) s[++cur]=a[i],s[++cur]='#';
s[++cur]='!';
n=cur-1;
// 接下來就可以一致處理了
for(int i=1,o=0,r=0;i<=n;i++){
rad[i]=(i>r?1:min(rad[(o<<1)-i],r-i+1)); // 利用之前的資訊
while(s[i-rad[i]]==s[i+rad[i]]) rad[i]++; // 中心擴充套件
if(i+rad[i]-1>r) o=i,r=i+rad[i]-1; // 更新 o 和 r
}
}
a 是原串，s 是處理過後的字串。
先說怎麼算實際原串的以 \(i\) 為迴文中心的最長迴文串的長度，其實就是 \(rad[i]-1\)（因為特殊處理後加了字元 \(\texttt{\#}\)），自己分類討論一下 \(s[i]\) 是或不是 \(\texttt{\#}\)，就容易推出這個式子了。
接著我們就可以解答上文的問題了，為什麼頭尾要各加一個 \(\texttt{\#}\)？舉個例子，對於字串 \(\texttt{bac}\)，其實應轉換為 \(\texttt{\#b\#a\#c\#}\)，那麼在列舉到 \(\texttt{a}\) 時，實際上得到的迴文串是 \(\texttt{\#a\#}\)，所以對於頭尾的字元我們也應該做相同處理，於是前後各加一個 \(\texttt{\#}\)；或者你想想，如果兩邊不不加，那麼 \(rad=1\)，於是以它為迴文中心的最長迴文串的長度就為 \(rad-1=1-1=0\) 了，所以要這樣修正。
那為什麼頭尾還要加 \(\texttt{@}\) 和 \(\texttt{!}\) 呢？是為了防止越界，或者說讓擴充套件整個串的左右端點處停下來，比方說整個串就對稱時，若列舉它的迴文中心，那如果不往兩邊加兩個不同的字元，那就會一直擴充套件下去，那就越界了。
其他的就沒有什麼好說的了，注意當 \(i>r\) 時就直接從 \(1\) 開始暴力中心擴充套件即可。
Manacher 的複雜度
首先答案肯定是 \(O(n)\) 的，依據是字串演算法全是線性的。
\(\text{KMP}\) 知道怎麼分析了，那就自己想想吧，答案在下面。
\(\color{white}\text{同樣唯一需要分析的就是這個 while,其他都顯然是 O(n) 的。}\)
\(\color{white}\text{每個字元至多被從它後面暴力擴充套件到它一次，所以只會進行 O(n) 次 while。}\)
\(\color{white}\text{綜上，實際複雜度 O(n)。}\)
累啊！不過如此！