康託展開
引入
康託展開(Cantor expansion)用於將排列轉換為字典序的索引(逆展開則相反)
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方法
假設我們要求排列 5 2 4 1 3 的字典序索引
逐位處理:
- 第一位:5 2 4 1 3,如果一個排列的第一位比 \(5\) 小(有 \(4\) 種情況)
則不管其後 \(4\) 位如何(有 \(4!\) 種情況),其字典序都更小
所以,至少有 \(4\times 4!\) 個排列字典序更小。 - 第二位:
52 4 1 3,如果另一個排列的第一位就是 \(5\) ,但第二位比 \(2\) 小(有 \(1\) 種情況)
則不管其後 \(3\) 位如何(有 \(3!\) 種情況),其字典序都更小
所以, 至少有 \(4\times 4!+1\times 3!\) 個排列字典序更小。 - 第三位:
5 24 1 3,如果另一個排列的前兩位與我們的相同,但第三位比 \(4\) 小(\(2\) 不能選了,從右往左看,有 \(2\) 種情況)
則不管其後 \(2\) 位如何(有 \(2!\) 種情況),其字典序都更小
所以, 至少有 \(4\times 4!+1\times 3!+2\times 2!\) 個排列字典序更小。 - 第四位:
5 2 41 3,如果另一個排列的前三位與我們的相同,但第四位比 \(1\) 小(不可能, 有 \(0\) 種情況)
則不管其後 \(1\) 位如何(有 \(1!\) 種情況),其字典序都更小
所以,至少有 \(4\times 4!+1\times 3!+2\times 2!+0\times1!\) 個排列字典序更小。 - 第五位:
5 2 4 13,按照上面的方法操作,很顯然, 有 \(4\times 4!+1\times 3!+2\times 2!+0\times1!+0\times0!\) 個排列字典序更小。
因此,若索引從 \(1\) 開始,則 5 2 4 1 3 的索引是 \(4\times 4!+1\times 3!+2\times 2!+0\times1!+0\times0!+1=107\) 。
演算法
總結上述方法,可以歸納出以下演算法:
-
列舉排列的每一位,對值為 \(p_k\) 的第 \(k\) 位:
- 找出後面所有位( \(k+1\) 至 \(n\) )中小於 \(p_k\) 的位數 \(a_k\) (也就是 \(p_k\) 是第 \(k\) 至 \(n\) 位第 \(a_k+1\) 小的)
若用這些位中的某一位替換第 \(k\) 位,則無論後面 \(n-k\) 位如何排列(總共有 \(a_k(n-k)!\) 種情況),最終的字典序肯定更小
- 把這些字典序更小的排列數加起來
-
再加 \(1\) 即為該排列的字典序索引
公式
用公式來表示即為:
優化
其中 \(a_k\) 的求值過程可以進行優化,設一序列 \(P=\underbrace{[1,1,1,\dots,1]}_{n\text{個}1}\)
我們每處理一位就置 \(P_{p_k}\) 為 \(0\) 。
這樣在排列 \(p\) 中,我們沒處理過的值就可以被表示為序列 \(P\) 中值為 \(1\) 的索引,即:
我們可以用線段樹、樹狀陣列這樣的資料結構來維護 \(P\) ,要求小於 \(p_k\) 的位數,即是求序列 \(P\) 區間 \([1,p_k-1]\) 中 \(1\) 的個數,這不就是區間求和嗎?
演算法可以改進為以下這樣:
優化演算法
- 初始化長度為 \(n\)(索引從 \(1\) 開始),值全為 \(1\) 的序列 \(P\)
- 列舉排列的每一位,對值為 \(p_k\) 的第 \(k\) 位:
- 修改 \(P_{p_k}=0\)
- 求出 \(a=(n-k)!\sum^{p_k-1}_{i=1}P_i\) ,和式為序列 \(P\) 區間 \([1,p_k-1]\) 的元素和
- 把所有 \(a\) 相加,最後加 \(1\) 即為索引。
時間複雜度為 \(\mathrm{O}(n\log n)\)
參考程式碼
題目:P5367 【模板】康託展開 - 洛谷
(線段樹版本)
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
//---//
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;
typedef unsigned int u;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long llu;
#define rep(i, a, b) for (ll i = a; i < b; i++)
#define REP(i, a, b) for (ll i = a; i <= b; i++)
#define per(i, b, a) for (ll i = b; i >= a; i--)
const ll N = 1000005;
const ll mod = 998244353;
ll p[N], f[N], d[4 * N];
bool lz[4 * N];
#define mid ll m = s + ((t - s) >> 1)
void bd(ll s, ll t, ll i) {
if (s == t) {
d[i] = 1;
return;
}
mid;
bd(s, m, i * 2);
bd(m + 1, t, i * 2 + 1);
d[i] = (d[i * 2] + d[i * 2 + 1]) % mod;
}
void spr(ll s, ll t, ll i) {
if (lz[i]) {
d[2 * i] = 0;
d[2 * i + 1] = 0;
lz[2 * i] = true;
lz[2 * i + 1] = true;
lz[i] = false;
}
}
void upd(ll l, ll r, ll s, ll t, ll i) {
if (l <= s && t <= r) {
d[i] = 0;
lz[i] = true;
return;
}
mid;
spr(s, t, i);
if (l <= m) upd(l, r, s, m, 2 * i);
if (r > m) upd(l, r, m + 1, t, 2 * i + 1);
d[i] = (d[i * 2] + d[i * 2 + 1]) % mod;
}
ll get(ll l, ll r, ll s, ll t, ll i) {
if (l > r) return 0;
if (l <= s && t <= r) return d[i];
mid;
spr(s, t, i);
ll sum;
if (l <= m) sum = get(l, r, s, m, 2 * i) % mod;
if (r > m) sum = (sum + get(l, r, m + 1, t, 2 * i + 1)) % mod;
return sum;
}
signed main() {
ll n, r = 1;
f[0] = 1;
scanf("%lld", &n);
bd(1, n, 1);
REP(i, 1, n) scanf("%lld", &p[i]);
REP(i, 1, n - 1) f[i] = f[i - 1] * i % mod;
REP(k, 1, n) {
upd(p[k], p[k], 1, n, 1);
r = (r + get(1, p[k] - 1, 1, n, 1) * f[n - k] % mod) % mod;
}
printf("%lld", r);
}
// https://www.luogu.com.cn/record/60977896
康託逆展開
引入
康託逆展開用於通過一個已知長度排列的字典序索引反求出該排列
推導
剛剛,我們知道了:
其中:
已知 \(n\) 位排列 \(p\) 的字典序索引為 \(\mathrm{Index}(p)\) ,通過康託逆展開,我們可以求出各個 \(a_i\) ,從而求出排列 \(p\) 。
首先,我們把右側的 \(1\) 移至左側,再提出和式中的第一項:
好像我們能用整除直接求出 \(a_1\) ,但我們得先證明後面那個和式不影響結果。
由 \(a_k\) 的定義,我們有 \(a_k\leq n-k\),所以:
把式 \((1)\) 右側的和式看成帶餘除法的餘數 \(R_1\) ,原式寫為:
把 \((n-1)!\) 看作除數,\(a_1\) 看作商,我們就可以表示出 \(a_1\) 了:
另外有
我們繼續拆出餘下和式的第一項:
這個式子和剛剛的是一模一樣的,於是我們能同樣地求出 \(a_2\) 以及其他所有 \(a\) 值,按照以下遞推式:
這樣,我們就求出了所有 \(a\) ,回想一下, \(a_k\) 是指排列的第 \(k\) 位是排列第 \(k\) 位至 \(n\) 位(未處理的所有位)中第 \(a_k+1\) 小的,我們只需從第 \(1\) 位開始,對第 \(i\) 位,從未選中的數中選擇第 \(a_i+1\) 小的新增到排列中,最後就能形成對應字典序的排列了。
我們可以用一個初始化為[1,2,3,...,n]
的vector
,每處理一位則erase()
一位,每次取索引為 \(a_i\) 的元素即可。
演算法
歸納上述推導過程就有了以下的演算法:
- 初始化一個 \(1\) 至 \(n\) 的
vector<int>vec
- 求出 \(1\) 至 \(n-1\) 的階乘,備用
- 初始化 \(R=\mathrm{Index}(p)-1\)
- 對 \(1\) 至 \(n\) 的 \(i\) 執行:
- 求出\(a=\lfloor\frac{R_{i+1}}{(n-i)!}\rfloor\)
- 排列的 \(p\) 的第 \(i\) 位即為
vec[a]
- 移除
vec[a]
- 更新:\(R\leftarrow R\ \%\ (n-i)!\)
- 排列 \(p\) 即為答案
參考程式碼
題目:P3014 [USACO11FEB]Cow Line S - 洛谷
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
//---//
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;
typedef unsigned int u;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long llu;
#define rep(i, a, b) for (ll i = a; i < b; i++)
#define REP(i, a, b) for (ll i = a; i <= b; i++)
#define per(i, b, a) for (ll i = b; i >= a; i--)
const ll N = 21;
ll p[N], f[N], d[4 * N];
vector<ll> vec;
bool lz[4 * N];
#define mid ll m = s + ((t - s) >> 1)
void bd(ll s, ll t, ll i) {
lz[i] = false;
if (s == t) {
d[i] = 1;
return;
}
mid;
bd(s, m, i * 2);
bd(m + 1, t, i * 2 + 1);
d[i] = d[i * 2] + d[i * 2 + 1];
}
void spr(ll s, ll t, ll i) {
if (lz[i]) {
d[2 * i] = 0;
d[2 * i + 1] = 0;
lz[2 * i] = true;
lz[2 * i + 1] = true;
lz[i] = false;
}
}
void upd(ll l, ll r, ll s, ll t, ll i) {
if (l <= s && t <= r) {
d[i] = 0;
lz[i] = true;
return;
}
mid;
spr(s, t, i);
if (l <= m) upd(l, r, s, m, 2 * i);
if (r > m) upd(l, r, m + 1, t, 2 * i + 1);
d[i] = d[i * 2] + d[i * 2 + 1];
}
ll get(ll l, ll r, ll s, ll t, ll i) {
if (l > r) return 0;
if (l <= s && t <= r) return d[i];
mid;
spr(s, t, i);
ll sum;
if (l <= m) sum = get(l, r, s, m, 2 * i);
if (r > m) sum = sum + get(l, r, m + 1, t, 2 * i + 1);
return sum;
}
signed main() {
ll n, r, q, I, A;
char c;
f[0] = 1;
scanf("%lld%lld\n", &n, &q);
REP(i, 1, n - 1) f[i] = f[i - 1] * i;
while (q--) {
c = getchar();
while (c != 'P' && c != 'Q') c = getchar();
if (c == 'P') {
scanf("%lld", &I);
I--;
REP(i, 1, n) vec.push_back(i);
REP(i, 1, n) {
A = I / f[n - i];
I %= f[n - i];
printf("%lld ", vec[A]);
vec.erase(vec.begin() + A);
}
printf("\n");
} else {
r = 1;
bd(1, n, 1);
REP(i, 1, n) scanf("%lld", &p[i]);
REP(k, 1, n) {
upd(p[k], p[k], 1, n, 1);
r += get(1, p[k] - 1, 1, n, 1) * f[n - k];
}
printf("%lld\n", r);
}
}
}
// https://www.luogu.com.cn/record/60986344