24暑假集訓day6上午&下午

Yantai_YZY發表於2024-08-03

DP

概念

狀態、轉移方程、初始化

先放一張圖（相信都能理解：狀態、轉移方程、初始化的含義，隨便引入斐波那契數列的題）

入門題

Problem 1

斐波那契數列

\[f_i=f_{i-1}+f_{i-2} \]

組合數

轉移方程：

\[C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m) \]

\[C(n,0)=1 \]

楊輝三角：

\[f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j] \]

Problem 2

\(N\cdot M\)的方格圖只能向右或者向下求走到右下的方案數？
和走到右下的最小代價？

\[f[i][j]=\min(f[i][j-1],f[i-1][j])+z[i][j] \]

Problem 3

數字三角形給你一個三角形，問從怎麼走能夠取得最大代價

\[f[i][j]=\max(f[i-1][j],f[i-1][j+1])+z[i][j] \]

Problem 4

在上一個題的基礎上變化為求和 \(\bmod100\)之後最大的結果

多一個條件

多一維狀態

Problem 5

最長上升子序列求方案

\[f[i]=\max(f[j])+1 \]

dp 狀態的判定

思考什麼東西發生變化

\(f[\)位置\(][\)和\(]\implies f[i][j][k]\) 是否可能

走到 \((i, k)\) 和為 \(k\)

int f[位置] = 和

\(f[i][j]\) 走到 \((i, k)\) 和最大是多少

Problem 6

滑雪 \(N\) 行 \(M\) 列的圖

  1. 每個格子有高度
  2. 可以滑向周圍四個比自己矮的格子
  3. 最多能劃多遠

思路：

排序之後就是前面一道題

#include <iostream>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <bitset>
using namespace std;
const int MAXX = 1e5 + 10, MAXN = 1e9 + 10;
inline int read(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}
int n, m;
int h[233][233], f[233][233];//f[i][j]代表從(i, j)這個位置出發 最遠能滑多遠 
bool g[233][233];//g[i][j]代表f[i][j]算過沒 

int dx[10] = {-1, 1, 0, 0};//上下左右
int dy[10] = {0, 0, -1, 1};//dx[i], dy[i]代表的是在第i個方向下x的座標和y座標的偏差值 

const int M = 250 * 250;

pair<int, int> z[M];//z[i]代表一個座標 

bool cmp(pair<int, int> a, pair<int, int> b){
	return h[a.first][a.second] > h[b.first][b.second];
}

int main(){
	n = read(), m = read();
	int k = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i++){
		for(int j = 1;j <= m;j++){
			h[i][j] = read();//每個位置的高度 
			k++;
			z[k] = make_pair(i, j);
		}
	}
	sort(z + 1, z + k + 1, cmp);
	
	for(int a = 1;a <= k;a++){
		int i = z[a].first;
		int j = z[a].second;
		//取出當前座標 
		//int h = ::h[i][j];
		//取出當前座標高度 
		f[i][j] = max(f[i][j], 1);
		for(int d = 0;d < 4;d++){
			int x = i + dx[d];
			int y = j + dy[d];
			//從 (i,j)沿著方向d走一格會走到(x, y) 
			if(x >= 1 && x <= n && y >= 1 && y <= m)//判斷(x, y)是否合法 
		          	if(h[i][j] > h[x][y])//(i, j)高度比(x, y)高度更高 
		          		f[x][y] = max(f[x][y], f[i][j] + 1);
		}
	}
	int ans = -1;
	for(int i = 1; i <= n; i ++)
		for(int j = 1; j <= n; j ++)
		          ans = max(ans, f[i][j]);
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

Problem 7

烏龜棋

  1. 長度為 \(N\) 的格子上有權值
  2. \(M\) 張牌，上面有 \(1-4\) 中的一個數
  3. 使用一張牌往前走幾步
  4. 最大化經過的位置的權值和

思路：

f[i][j][k][l][r]

考慮最佳化

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[45][45][45][45];
int g[5];
int a[400];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    int i,j,k,l;
    for(i=1;i<=n;i++)
        cin>>a[i];
    f[0][0][0][0]=a[1];
    for(i=1;i<=m;i++){
        int x;
        cin>>x;
        g[x]++;
    }
    for(i=0;i<=g[1];i++)
        for(j=0;j<=g[2];j++)
            for(k=0;k<=g[3];k++)
                for(l=0;l<=g[4];l++){
                    int move=1+i+2*j+3*k+4*l;
                    if(i!=0) f[i][j][k][l]=max(f[i][j][k][l],f[i-1][j][k][l]+a[move]);
                    if(j!=0) f[i][j][k][l]=max(f[i][j][k][l],f[i][j-1][k][l]+a[move]);
                    if(k!=0) f[i][j][k][l]=max(f[i][j][k][l],f[i][j][k-1][l]+a[move]);
                    if(l!=0) f[i][j][k][l]=max(f[i][j][k][l],f[i][j][k][l-1]+a[move]);
                }
    cout<<f[g[1]][g[2]][g[3]][g[4]]<<endl;
    return 0;
}

區間dp

所有的操作都是針對區間進行，不會有跨越兩個元素的情況

Problem 1

合併石子

  1. 每次選擇相鄰兩堆
  2. 代價為兩堆石子和
  3. 問最小總代價

思路：

用 \(𝑓[𝑚][𝑟]\) 表示一段區間合併的最小代價

列舉斷點合併

如果是環形要如何處理？

Problem 2

給出一個的只有 ()[] 四種括號組成的字串，求最多能夠選出多少個括號滿足完全匹配

思路：

\(𝑓[𝑚][𝑟]\)代表該段區間能匹配的最多字元

  1. 轉移一 列舉斷點
  2. 轉移二 去掉端點
  3. 轉移三 匹配端點

Problem 3

給你 \(n\) 個數字

  1. 要求不能刪除左右端點的數字
  2. 刪除其他數字的代價是該數字和左右相鄰數字的乘積
  3. 問把數字（除端點）刪完後的最小總代價

還是 \(𝑓[𝑚][𝑟]\)

注意：狀態要表示為保留左右兩張卡片

Problem 4

給定字串，求迴文子序列的數量

注：兩個迴文子序列只要位置不同就算做不同的迴文子序列

思路：

關鍵：去重

  1. 轉移一：容斥原理
  2. 轉移二：當左右字元相同時 再補充一次內部答案

Problem 5

給定凸 \(N\) 邊形

  1. 每個點有一個權值
  2. 將凸多邊形三角化
  3. 每個三角形的三個點權乘起來求和
  4. 問最小和

思路：

本質上是一個環形區間dp

揹包

Problem 1

\(N\) 個物品 \(M\) 容量每個物品有體積和價值

  1. 最大化價值和
  2. 如果物品可以用無限次？
  3. 如果物品可以用有限次？

樹形dp

本質：

基於樹的dp

  • dp方法始終為從下至上進行dp

  • 在每個節點對所有兒子做聚合

  • 可能需要多一遍 dfs 或者 bfs

圖的儲存

#include <iostream>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <bitset>
using namespace std;
const int MAXX = 1e5 + 10, MAXN = 1e9 + 10;
inline int read(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}
int n;
vector<int> z[MAXX];//z[i]代表從i出發的所有邊 z[i][j]代表從i出發的第j條邊會走到z[i]
int f[MAXX];
void dfs(int i, int fa){//當前dfs到了i點他的父親是fa 
//要求f[i] 
	for(auto j : z[i]){//從i->j的邊 
		if(j != fa){
			dfs(j, i);
		}
	}
	f[i] = 1;
	for(auto j : z[i]){//從i->j的邊 
		if(j != fa){
			f[i] += f[j];
		}
	}
}	

int main(){
	n = read();
	for(int i = 1;i <= n;i++){
		int s, e;
		s = read(), e = read();
		z[s].push_back(e);
		z[e].push_back(s);
	}
	dfs(1, 0);
	cout << f[1] << '\n';	
	return 0;
}

Problem 1

求樹上有多少個點

思路：

Problem 2

求樹的直徑

思路：

\(F[i][0]\) 最長

\(F[i][1]\) 次長

#include <iostream>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <bitset>
using namespace std;
const int MAXX = 1e5 + 10, MAXN = 1e9 + 10;
inline int read(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
	return x*f;
}
int n;
int ans;
vector<int> z[MAXX];//z[i]代表從i出發的所有邊 z[i][j]代表從i出發的第j條邊會走到z[i]
int f[MAXX][2];//f[i][0/1]從i出發向下走最長或次長的路徑長度 
void dfs(int i, int fa){//當前dfs到了i點他的父親是fa 
//要求f[i] 
	for(auto j : z[i]){//從i->j的邊 
		if(j != fa){
			dfs(j, i);
		}
	}
	priority_queue<int> heap;
	heap.push(0);
	heap.push(0);
	for(auto j : z[i]){//從i->j的邊 
		if(j != fa){
			heap.push(f[j][0] + 1);
		}
	}
	f[i][0] = heap.top();
	heap.pop();
	f[i][1] = heap.top();
	ans = max(ans, f[i][0] + f[i][1]);
}	

int main(){
	n = read();
	for(int i = 1;i <= n;i++){
		int s, e;
		s = read(), e = read();
		z[s].push_back(e);
		z[e].push_back(s);
	}
	dfs(1, 0);
	cout << f[1] << '\n';	
	return 0;
}

Problem 3

求樹上路徑總長度和

思路：

F[i] 表示子樹內答案

DP + Dfs

Problem 5

現在要在一棵樹上佈置士兵，每個士兵在結點上，每個士兵可以守護其結點直接相連的全部點，問最少需要佈置多少個士兵。

Problem 6

一棵結點帶權樹，大小(結點數)為 \(k\) 的子樹的權值和最大為多少。

資料範圍 \(100\) 以內

Problem 7

依賴揹包問題

每個物品要選必須先選某個指定的物品，問能夠獲得的最大價值

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