描述RSA的實現步驟介紹文章非常多，但說明並證明其原理，並進而討論為什麼這樣設計的文章不多。本人才疏學淺，不敢說理解了R.S.A.三位泰斗的設計初衷，簡單就自己的理解寫一寫，博大家一笑。
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一、用到的數論基礎定理
R.S.A.三位一定是數學大神尤拉的粉絲，因為所有用到的基本原理和定理都是以尤拉命名的。
1、尤拉函式
小於m的書中，所有與m互質的數的個數定義為“尤拉函式”，寫為：Φ(m)。若m的質因數分解為： 
（其中Pi為素數，ei為正整數），Φ(m) 的計算公式為：
2、尤拉定理
若gcd(a,m)=1（a和m互質），則有：
啟示：
1）尤拉定理是“環”到“域”的重要過渡，只要把左邊的乘方運算拆為兩個乘方運算的乘積，拆成的兩個部分就可以理解為“域”中的“元”及其乘法“逆元”，這樣環上的模逆元就存在了，“環”就可以變成“域”了。但需要注意的是尤拉定理存在的條件是gcd(a,m)=1這個條件。為滿足這個條件，密碼學（cryptology）如果工作在有限域上，經常會進行選擇m為素數，或者非常接近素數的情況；而a則之需要是小於m的任意數，作為明文或密文。但嚴格說，RSA不是工作在伽羅瓦域上的，因為RSA的模數n是兩個素數p、q的乘積。n很接近一個素數，在證明RSA時，需要專門證明gcd(a,n)不為1的情況。
2）費馬小定理是尤拉定理的“特例中的特例”，其描述為：當p是一個素數時
， 或 
。證明：若p為素數gcd(a,p)=1；而尤拉函式Φ(m)=p-1。代入尤拉定理，即可得到費馬小定理。
二、RSA過程
Step 1.選擇兩個大素數p和q，當n為7680位（960位元組）的數時，p和q約為3072位，在這樣長度的奇數中尋找一個素數的可能性約為：
即約1065個奇數中有一個素數。
計算n=p*q。
Step 2.計算n的尤拉函式Φ(n)。
因為n的兩個質因數已知為p和q，代入公式（1）有Φ(n)=(p-1)(q-1)。
Step 3.選擇一個與Φ(n)互質的數e。
a)要求e與Φ(n)互質的原因是要保證e的模n乘法逆的存在。而這個乘法逆就是私鑰d。
b)e將作為公鑰，e取值不大，一般有3、17、65537幾種選擇。因為公鑰e遠小於私鑰d，持有公鑰的一方，在不論是進行加密（用RSA做金鑰交換）還是進行解密（用RSA作數字簽名）的速度都遠遠快於持有私鑰d的一方。
e之所以選擇這幾個數，除了是素數之外，還因為這幾個數3（b101）、17（b1_0001）、65537（b1_0000_0001）的二進位制表達中1的個數特別少，這樣在計算xe時將會特別簡便。
c)在整個RSA運算中，計算d是唯一一次使用Φ(n)作為模的地方，其他地方都是使用n作為模。
Step 4.使用公鑰e和私鑰d進行加解密
a）上面的公式中並沒有指定x和y誰是明文誰是密文，也就是說兩者都可以作為明文和密文。
b）RSA找到了一種“一一對應”的對映關係f：因為e較小，且公開，所以x對映到y很容易；y對映到x很困難，d較大，且不知道p、q時很難得到。這樣的對映f被稱為單向對映。
三、RSA的證明
證明RSA過程，等價於證明：
其中
n=p×q，n只有p、q兩個質因數。
根據n和x的情況分兩種情況討論：
情況一：當x不含有p和q兩個質因數時，n和x互質，gcd(n,x)=1。根據尤拉定理有：
根據d的定義，d和e對模Φ(n)互逆，有：
將上式寫成另一種形式：
將其代入欲證明的(2)，有：
情況二：當n和x不互質時，由於n=p×q，x可以寫成：x=r×p或s×q（但不能寫成x=r×p×q，因為這會使得x > n）。不失一般性，假設x=r×p。由於
，根據尤拉定理和尤拉函式有：
根據d的定義，同樣有(5)式，而（6）式則變為：
其中使用了尤拉函式計算公式
將（7）代入上式有：
至此，證明了不論在那種情況下都有 ，證畢！
四、RSA的設計思路
不自量力的揣測一下R.S.A.三位的設計思路，是利用尤拉定理構造了以n作為模的環上互逆的一對數x和y作為明文和密文，x和y各自是對方的e次方和d次方。如果知道n的質因數分解（p×q）的，可以通過尤拉函式方便的計算出e和d，否則只能靠對方告知其中之一，從而形成了單向對映，構成了所謂“非對稱加密”。
另外，在e和d的複雜度的分割上，並不是相等的。設計者讓知道質因數分解的一方的金鑰d遠遠複雜於e，原因有二：其一，知道質因數分解的一方可以通過中國餘數定理CRT加速計算；其二，不知道質因數分解的諸多“非對稱”通訊者，可以使用較低的算力執行加、解密。
較簡單金鑰e稱為公鑰，較複雜金鑰d稱為私鑰。