Chapter 4 證明技巧

證明技巧：思路圖

使用公理系統時，證明的「構思過程」與證明的「書寫過程」大相徑庭。思考過程往往從最後一步開始，逐步規約。來看兩個例子

傳遞律的證明

\[A\rightarrow B, B\rightarrow C\vdash A\rightarrow C \]

Thinking & Writing...

換位律的證明

\[\vdash(A\rightarrow(B\rightarrow C))\rightarrow (B\rightarrow(A\rightarrow C) ) \]

Thinking & Writing...

證明技巧：待定公式法

E1

證明

\[\vdash \neg\neg P\rightarrow P \]

容易想到應該用公理3，我們希望幹這件事：

\[\begin{aligned} ??? &\rightarrow \neg \neg P\\ &\Downarrow\\ \neg P &\rightarrow\ ???\\ &\Downarrow\\ ??? &\rightarrow P \end{aligned} \]

顯然，我們需要一個公式\(???\)帶著\(\neg\neg P\)來回轉。那我們不妨令\(???=\neg\neg R\)，從而

\[\neg\neg P\rightarrow(\neg\neg R\rightarrow \neg\neg P) \qquad \mathscr A_1 \]

對\(\neg\neg R\rightarrow \neg\neg P\)用兩次公理3，得到\(R\rightarrow P\)，再用一次公理2，藉助傳遞律和MP規則得

\[(\neg\neg P\rightarrow R) \rightarrow (\neg\neg P\rightarrow P) \]

我們令\(\vdash \neg\neg P\rightarrow R\)，顯然可以取

\[\neg\neg P\rightarrow R \equiv \neg\neg P\rightarrow(Q\rightarrow \neg\neg P) \]

於是可以回頭構造證明

E2

證明

\[\vdash (A\rightarrow\neg A)\rightarrow \neg A \]

顯然我們可以用\(\vdash (\neg A\rightarrow A)\rightarrow A\)和\(\vdash (P\rightarrow Q)\rightarrow (\neg Q\rightarrow \neg P)\)快速解決這個題。

不過，如果我們從\(\neg A\)開始構造證明呢？

我們不妨設可以得到\(\neg\neg R\rightarrow \neg A\)

證明技巧：識別死衚衕

我們的公理系統具有可靠性，也就是說，在語義層面

• 它只能從永真的公式推演到永真的公式，不能從永真的公式推出不永真的公式

• 它推出的公式中，後件可滿足的情況一定比前件多，後件不可滿足的情況一定比前件少，前件可滿足時後件一定可滿足。

• 簡而言之，它只能使結論/後件的永真性不斷變強，不能使其變弱

所以，如果你發現以下情況，那說明你的證明思路是錯的

• 如果你想要證明一個(滿足前提條件時)不是永真的公式，那你應該考慮給這個公式增加一些前件，或者調整它的結構，把它變成永真式

  例如，如果見到\(B\rightarrow(A\rightarrow C)\)，那說明你走錯路了

• 如果你想要透過證明\(A\rightarrow B\)來證明\(B\)，或者想要透過\(R\rightarrow(A\rightarrow B)\)來證明\(R\rightarrow B\)，但\(A\)並不是一個永真公式，那麼除非你確定你有特殊方法做到這件事，否則你的\(A\)就太弱了，需要改成一個永真公式

  例如，使用待定公式法時，設\(P\rightarrow(R\rightarrow Q)\)，想得到\(P\rightarrow Q\)，這時\(R\)通常必須是永真的

• 簡言之，如果\(A\prec B\)，那麼你既不能借助\(A\)推演出\(B\)，也不能借助\(R\rightarrow(A\rightarrow B)\)推演出\(R\rightarrow B\)。這種情況下，你應該加強\(A\)，使得\(A\succcurlyeq B\)