問題描述

某工廠有 $n$ 件物品需要進行加工，並且每件物品都需要先在 $A$ 工廠加工 $a_i$ 分鐘，然後在 $B$ 工廠加工 $b_i$分鐘，$A$，$B$ 工廠每次分別只能加工一件物品，問你最少需要多少時間能夠加工完全部 $n$ 件物品

交換論證

假設有 $n$ 件待完成事件，當前完成了 $k$ 件，所花時間為 $T$，設當前先完成 $i$ 事件再完成 $j$ 事件的總時間代價為 $T+T_{i,j}$，先完成 $j$ 事件再完成 $i$ 事件的總時間代價為 $T+T_{j,i}$，那麼若能夠找到關於 $T_{i,j}<T_{j,i}$ 的滿足條件，那麼該條件即為貪心法則的完備條件

Johnson 法則

1. 令 N 1 = { i   ∣   a i < b i } N_1=\{i\ |\ a_i < b_i\} N1​={i ∣ ai​<bi​} , N 2 = { i   ∣   a i ≥ b i } N_2=\{i\ |\ a_i \geq b_i\} N2​={i ∣ ai​≥bi​}
2. 將 $N_1$ 中作業依照 $a_i$ 增序排列，$N_2$ 中作業依 $b_i$ 減序排列
3. $N_1$ 中作業接 $N_2$ 中作業構成滿足 Johnson 法則的最優排程

基於交換論證的 Johnson 法則證明

假設當前已完成了 $k$ 件物品的加工，其序列如下：

$a_1,a_2,a_3,...a_k$
$b_1,b_2,b_3,...b_k$

定義$A_i={\sum }_{i=1}^i{a}_i$為工廠 $A$ 加工完前 $i$ 件物品所花時間，$B_i=max(A_i,B_{i-1})+b_i$ 為工廠$B$ 加工完成前 $i$ 件物品所花時間，那麼此時有 $A_k={\sum }_{i=1}^k{a}_i$，$B_k=max(A_i,B_{i-1})+b_k$

根據交換論證的步驟，接下來需要討論加工順序為 $x,y$ 和 $y,x$ 所花時間的大小關係

設此時先加工第 $x$ 件物品所花時間為 $B_x=max(A_k+a_x,B_k)+b_x$，先加工第 $y$ 件物品所花時間為 $B_y=max(A_k+a_y,B_k)+b_y$，則有：

$B_{x,y}=max(A_k+a_x+a_y,max(A_k+a_x,B_k)+b_x)+b_y$
$B_{y,x}=max(A_k+a_x+a_y,max(A_k+a_y,B_k)+b_y)+b_x$

將上式中的 $b_x$ 和 $b_y$ 移入 $max$ 內部，得：

$B_{x,y}=max(A_k+a_x+a_y+b_y,A_k+a_x+b_x+b_y,B_k+b_x+b_y)$
$B_{y,x}=max(A_k+a_x+a_y+b_x,A_k+a_y+b_x+b_y,B_k+b_x+b_y)$

顯然當 $B_k+b_x+b_y$ 為最大值時對答案沒有影響，故將其剔除

$B_{x,y}=max(A_k+a_x+a_y+b_y,A_k+a_x+b_x+b_y)=A_k+a_x+b_y+max(a_y,b_x)$
$B_{y,x}=max(A_k+a_x+a_y+b_x,A_k+a_y+b_x+b_y)=A_k+a_y+b_x+max(a_x,b_y)$

不妨設 $B_{x,y}<B_{y,x}$，則有：
$$A_k+a_x+b_y+max(a_y,b_x)<A_k+a_y+b_x+max(a_x,b_y)$$
$$a_x+b_y+max(a_y,b_x)<a_y+b_x+max(a_x,b_y)$$
$$max(-b_x,-a_y)<max(-b_y,-a_x)$$
$$min(b_x,a_y)>min(b_y,a_x)$$

即當物品 $x$ 和物品 $y$ 滿足 $min(b_x,a_y)>min(b_y,a_x)$ 條件時，$B_{x,y}<B_{y,x}$

但是該條件是不完備的，即該條件不滿足傳遞性，若此時 $min(b_x,a_y)=min(b_y,a_x)$，則理論上$B_{x,y}=B_{y,x}$，事實上也確實如此，但是由於 $B_i=max(A_i,B_{i-1})+b_i$，所以 $a_i$ 的字首和 $A_i$ 對於後續答案的統計是有影響的，出現這種情況的根源在於推導式子時正確的傳遞條件應當在 $min(b_x,a_y)=min(b_y,a_x)$ 的條件下繼續判斷 $a_i$ 的大小，以滿足排序條件的傳遞性

下面這組例子可以幫助理解：

3
2 100 3
1 1 1

這三件物品根據判斷條件來看是等價的，但是其加工順序不一樣會導致結果不一樣

再舉一個例子，假設此時 $\forall i\in [1,n],b_i=c,a_i\ge c$，理論上來說總時間 $B_n=A_n+c$ 並且有 $B_i=A_i+c$，但若此時 $a_i$ 為無窮大，則會導致 $A$ 工廠流水線阻塞，為了避免這種情況或者說為了使得對於 $\forall i\in [1,n],B_i=A_i+c$，我們顯然需要將 $a_i$ 小的先行加工

那麼問題究竟出在了哪裡呢？

在上述推導中顯然我們只考慮了兩件物品的先後關係，若每兩件物品均滿足 $B_{x,y}<B_{y,x}$ 的優先關係，稱任意兩件物品具有可比性，若 $\exists x,y,B_{x,y}=B_{y,x}$，則需要考慮其順序的後效性，或者說是排序條件的傳遞性