前言
本篇文章可作為<利用變分自編碼器實現深度換臉(DeepFake)>的知識鋪墊。
自編碼器是什麼，自編碼器是個神奇的東西，可以提取資料中的深層次的特徵。
例如我們輸入影像，自編碼器可以將這個影像上“人臉”的特徵進行提取(編碼過程)，這個特徵就儲存為自編碼器的潛變數，例如這張人臉的膚色以及頭髮顏色，自編碼器在提取出這些特徵之後還可以通過這些特徵還原我們的原始資料。這個過程稱作“解碼”。
(以下相關圖來自於jeremy)
自編碼器其實也是神經網路的一種，神經網路我們都知道，我們設計好網路層，輸入我們的資料，通過訓練提供的資料進行前向操作提取特徵，然後與準備好的標記進行比較，通過特定的損失函式來得到損失，然後進行反向操作實現對目標的分類和標定。
那麼自編碼器為什麼說和神經網路很像呢？
什麼是自編碼器
自編碼器也有自己的網路層，在自編碼器中通常稱之為隱藏層$h$，一個自編碼器通常包含兩個部分，一個為$h=f(x)$表示的編碼器，另一個是$s=g(h)$表示的解碼器。也就是$s=g(f(x))$。
當然編碼器不可能輸入$x$輸出$x$，那樣就太沒意思了，編碼器的主要特點是吸收輸入資料的“特點”，然後再釋放出來，可以理解為隨機對映$p_{encoder}(h|x)$和$p_{decoder}(x|h)$。
如上圖(來自Jeremyjordan)，我們可以看到輸入input layer和output layer的維數是一樣的，而隱含層的維數較小，所以我們也將自編碼器理解為降維的過程。
但是要注意，自編碼器屬於無監督學習，也就是說，不同於神經網路，自編碼器不需要任何其他的資料，只需要對輸入的特徵進行提取即可，當然我們要新增一些額外的限制條件來“強迫”自編碼器提取我們想要的東西。
如果是上面這種網路的話，全是線性啟用層,啟用層可以記憶我們的輸入，但也僅僅是記住了而已。在實際應用中，我們需要的隱含層應該可以很好地構建我們輸入資料的資訊，學習到我們的輸入資料的一些分佈和特點。
欠完備自編碼器
自編碼器我們想要它能夠對輸入的資料進行分析獲取一些特性，而不是簡單的輸入輸出，所以我們通過限制h的維度來實現，強迫自編碼器去尋找訓練資料中最顯著的特徵。
為什麼叫欠完備，那是因為$h$的維度比輸入$x$小。
我們通過對輸出設定一個損失函式(和神經網路中的損失函式相似):
$$L(x,g(f(x)))$$
然後通過減少損失(這個損失可以是均方誤差等)來使$h$隱含層學習資料中最重要的資訊。也就是學習資料中的潛在特性(Latent attributes)。
說白了這個自編碼器和PCA(PCA是一個簡單的機器學習演算法，通過尋找矩陣中最大的特徵向量來尋找輸入資料的“特點”)很像。都是通過編碼和解碼來得到訓練資料的隱含資訊，但是如果這個隱含層是線性層(上圖提到的)或者隱含層的容量很大，那麼自編碼器就無法學習到我們輸入資料的有用資訊。僅僅起一個複製的作用。
自編碼器和PCA的不同在於自編碼器可以學習到非線性特徵，也就是通過非線性編碼和非線性解碼自編碼器可以實現對資料的理解還原操作。對於高維的資料，自編碼器就可以學習到一個複雜的資料表示(流形，manifold)。這些資料表示可以是二維的或者三維的形態(取決於我們自己的設定)。
為什麼非線性的對映能夠學到更多的東西,當然是因為非線性的表示能力更強，學習到的東西越多，從下圖可以看出，對於二維空間中的一系列點，直線擬合(PCA)遠遠不如曲線擬合(自編碼器)。
我們利用Pytorch(v0.4.0)簡單編寫一個程式來觀察一下欠完備自編碼器的效果：
首先我們設計一個基本的網路層（自編碼器層）,這裡我們輸入的資料是MNIST手寫資料集，資料集的影像大小是28*28=784，所以我們設計的欠完備自編碼器將我們的輸入特徵進行降維操作(我們輸入的是$28 *28=784$維的資料)，然後我們進行三次降維，將784維降到3維這樣我們就可以將其進行視覺化了。
下面自編碼器層的設計：
class AutoEncoder(nn.Module):
def __init__(self):
super(AutoEncoder, self).__init__()
# 自編碼器的編碼器構造
self.encoder = nn.Sequential(
nn.Linear(28*28, 128), # 784 => 128
nn.LeakyReLU(0.1, inplace=True), # 啟用層
nn.Linear(128, 64), # 128 => 64
nn.LeakyReLU(0.1, inplace=True),
nn.Linear(64, 12), # 64 => 12
nn.LeakyReLU(0.1, inplace=True),
nn.Linear(12, 3), # 最後我們得到3維的特徵，之後我們在3維座標中進行展示
)
# 自編碼器的解碼器構造
self.decoder = nn.Sequential(
nn.Linear(3, 12), # 3 => 12
nn.LeakyReLU(0.1, inplace=True),
nn.Linear(12, 64), # 12 => 64
nn.LeakyReLU(0.1, inplace=True),
nn.Linear(64, 128), # 64 -> 128
nn.LeakyReLU(0.1, inplace=True),
nn.Linear(128, 28*28), # 128 => 784
nn.Sigmoid(), # 壓縮值的範圍到0-1便於顯示
)
def forward(self, x):
hidden = self.encoder(x) # 編碼操作，得到hidden隱含特徵
output = self.decoder(hidden) # 解碼操作，通過隱含特徵還原我們的原始圖
return hidden, output
我們的優化器為：
optimizer = torch.optim.Adam(autoencoder.parameters(), lr=configure['lr'])
然後建立損失函式就可以進行訓練了。
我們首先讀取我們需要的數字影像集MNIST，然後將其投入我們設計的自編碼器中進行訓練，我們分別用原始輸入影像和重構後的影像進行損失訓練，通過降低損失我們就可以提取到數字資料集中的特徵。最後，我們將我們提取的三維特徵用三維座標表示出來：
顯然可以看到，每種數字(0-9)都有各自的特徵簇，它們通常都聚在一起，換個角度再看一下：
這樣我們就把一些數字圖從784維降到3維，將其提取到的特徵通過三維座標展示出來了。
我們也可以還原我們的輸入資料(上一行是輸入的影像，下一行是通過3維特徵還原出來的)，雖然還原的比較模糊，但是也可以看出我們正確提取了這些數字的特徵。
稀疏自編碼器
稀疏自編碼器是正則編碼器的一種，正則即代表正則化，在之前的自編碼器中我們的隱藏層的維數是小於輸入層的，因此我們可以強迫自編碼器學習資料的“特徵”。但是，如果隱含層的維數和輸入層的維數相同或者大於輸入層的維數(也可以說是容量)。那麼我們的自編碼器可能就學不到什麼有用的東西了。
這個時候應該怎麼辦，我們可以學習神經網路中經常用到的東西，那就是正則化。
稀疏編碼器可以簡單表示為:
$$L(x,g(f(x))) + \Omega(h)$$
其中$g(h)$表示解碼器的輸出，$h$是編碼器的輸出$h=f(x)$。
很簡單，我們在損失函式的後面加了一項正則項，也可以稱作懲罰項。結合一些神經網路的概念，我們可以將其理解為自編碼器前饋網路中的正則項。
我們一般使用的正則項是L1正則損失，懲罰權重的絕對值，然後使用正則$\lambda$係數來調整。
$$ L(x,\hat x)+ \lambda\sum\limits_i|a_i^{(h)}| $$
另外一個常用的是$KL$散度，KL散度通常用來評價兩個分佈的關係，選擇一個分佈(通常是Bernoulli分佈)然後將我們權重係數的分佈與之進行比較，將其作為損失函式的一部分：
$$L(x,\hat x)+\sum\limits_{j}KL(\rho||\hat \rho_j)$$
其中$\rho$是我們選擇要比較的分佈，而$\hat \rho$表示我們權重係數的分佈。
另外在《深度學習》中，有對稀疏編碼器通過最大似然進行解釋：
通過解釋我們可以知道為什麼通過加入正則項可以使隱含層學習到我們想要讓學習到的東西。
還有個小問題，為什麼叫稀疏自編碼器，看下面的圖就可以知道，隱含層中有些結點消失了，自然就變稀疏了。稀疏的隱含層與我們之前介紹的欠完備隱含層的區別是：稀疏自編碼器可以使我們的隱含層中相對獨立的結點對特定的輸入特徵或者屬性變得更加敏感。 也就是說欠完備的自編碼器的隱含層對輸入資料所有的資訊進行觀測利用，而稀疏則不同，它是有選擇性的，只對感興趣的區域進行探測。
通過上面的稀疏策略我們可以保證在不犧牲網路對特徵提取能力的同時，減少網路的容量，這樣我們就可以挑輸入資訊中的特定資訊去提取。
我們再通過Pytorch程式設計序來演示一下，我們修改自編碼器的隱含層,將隱含層改成為與輸入資料相同的維數(784)，這樣如果進行訓練的話...損失函式的損失值是不會下降的，我們根據稀疏自編碼器的特點加上一個正則項(懲罰項)，怎麼加呢，其實對權重進行懲罰那就是權重衰減，我們在設計優化器的時候加上一句話就可以了：
# weight_decay為權重衰減係數,我們這裡設定為1e-4
# 但這裡的懲罰函式為L2
optimizer = torch.optim.Adam(autoencoder.parameters(), lr=configure['lr'], weight_decay=1e-4)
這樣就相當於算上了對權重的正則項，然後是我們的自編碼層，可以看到所有維數都是一樣的。
class AutoEncoder(nn.Module):
def __init__(self):
super(AutoEncoder, self).__init__()
self.encoder = nn.Sequential(
nn.Linear(28*28, 28*28), # 現在所有隱含層的維數是一樣的，沒有縮小也沒有放大
nn.LeakyReLU(0.1, inplace=True),
nn.Linear(28*28, 28*28),
nn.LeakyReLU(0.1, inplace=True),
nn.Linear(28*28, 28*28),
)
self.decoder = nn.Sequential(
nn.Linear(28*28, 28*28),
nn.LeakyReLU(0.1, inplace=True),
nn.Linear(28*28, 28*28),
nn.LeakyReLU(0.1, inplace=True),
nn.Linear(28*28, 28*28),
nn.Sigmoid(),
)
def forward(self, x):
hidden = self.encoder(x)
output = self.decoder(hidden)
return hidden, output
當然我們也可以通過dropout來實現對權重的懲罰，這裡就不演示了，我們對上面的自編碼器進行訓練得到的結果，然後對數字5的影像進行重構：
好吧，效果沒有之前那個好，可能是正則化係數(權重衰減係數)需要調一下，但這個簡單的例子也足以說明我們可以通過正則化來使隱含層學習我們想要學習的東西。
未完待續。
參考資料：
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