[T240719] 證明任何有界複數列必有收斂子數列.
證：設 \(\{z_n\}\) 為有界複數列, 則 \(\exists M>0,~s.t.~|z_n|\le M~(n\in\mathbb{N}_+)\). 不妨設 \(z_n=x_n+\mathrm{i}y_n\), 則有
\[|x_n|\le M,\quad |y_n|\le M,\quad n\in\mathbb{N}_+
\]
即 \(\{x_n\},\{y_n\}\) 為有界實數列, 由實數的緻密性定理可知 \(\{x_n\}\) 和 \(\{y_n\}\) 必有收斂子數列, 不妨設 \(\{x_ {n_k}\}\) 為 \(\{x_n\}\) 的收斂子數列, 注意到 \(\{y_{n_k}\}\) 也是有界實數列, 因此也存在收斂子數列 \(\{y_{n_{k_l}}\}\), 顯然 \(\{x_{n_{k_l}}\}\) 也是收斂的, 於是 \(\{z_{n_{k_l}}\}\) 是收斂子數列.