實驗5 回溯法
一、實驗目的與要求：
1、通過回溯法的示例程式理解回溯法的基本思想；
2、運用回溯法解決實際問題進一步加深對回溯法的理解和運用；
二、實驗內容：
1、分析並掌握“符號三角” 問題的回溯法求解方法；
2、練習使用回溯法求解問題。
三、實驗步驟
1．理解回溯演算法思想和演算法示例；
2．上機輸入和除錯演算法示例程式；
3．理解實驗題的問題要求；
4．上機輸入和除錯自己所編的實驗題程式；
5．驗證並分析實驗題的實驗結果；
6．整理出實驗報告；
四、示例程式：符號三角形問題
符號三角問題：下面都是“-”。 下圖是由14個“+”和14個“-”組成的符號三角形。2個同號下面都是“+”，2個異號下面都是“-”。
+ + - + - + +
+ - - - - +
- + + + -
- + + -
- + -
- -
+
在一般情況下，符號三角形的第一行有n個符號。符號三角形問題要求對於給定的n，計算有多少個不同的符號三角形，使其所含的“+”和“-”的個數相同。
參考程式碼如下，請在此基礎上，寫出主函式，實現如下功能：
- 分別輸出n的值為1----20時，對應的符號三角形個數，如沒有滿足條件的符號三角形，則輸出0
- 輸入一個整數n，輸出對應的符號三角形的個數，並依次顯示出所有的符號三角形。
執行程式碼以及個人註釋：
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
class Triangle
{
//用於建立資料初始化
//使用友元函式可以不受在類中宣告位置的影響
friend int Compute(int n);
private:
//回溯函式的具體實現
void Backtrack(int t);
//n用來記錄存放的資料，count用來記錄‘-’出現的次數，而half用來一半的個數
//用於剪枝操作
int n, count, half;
//用於建立二維陣列
int **p;
//用於統計三角形的個數
int sum;
};
/**
*
* 使用基本的回溯框架
* t用於表示第一行元素中的第t個數
*/
void Triangle::Backtrack(int t)
{
if((count>half)||(t*(t-1)/2-count>half))return;//剪去不滿足約束的子樹
if(t>n)
{ cout<<endl;
sum++; //找到一個滿足要求的三角形
for (int i=1;i<=n;i++)
{
//用於對齊三角形
for(int j=1; j<i; j++)
cout<<" ";
for(int j=1;j<=n-i+1;j++)
if (p[i][j]==1)
cout<<'-'<<' ';
else if (p[i][j]==0)
cout<<'+'<<' ';
cout<<endl;
}
}
else
/**
* 第一行中所有元素的狀態要麼為0，要麼為1
* 即‘+’或‘-’
* 所以 i要麼為1或為0
*
*/
for(int i=0;i<2;i++)
{//子樹
p[1][t]=i;
count+=i;
/**
* 在這裡用j來計算行
*/
for(int j=2;j<=t;j++) //該子樹形成的三角形
{
//例如p[1][1]=0，p[1][2]=0 經過異或運算可以的出p[2][1]=0
p[j][t-j+1]=p[j-1][t-j+1]^p[j-1][t-j+2];
count+=p[j][t-j+1];
}
Backtrack(t+1);
for(int j=2;j<=t;j++) //回溯恢復
count-=p[j][t-j+1];
count-=i;
}
}
int Compute(int n)
{
Triangle X;
X.n=n;
X.count=0;
X.sum=0;
/**
* 計算half
*/
X.half=n*(n+1)/2;
if (X.half%2==1) return 0;
X.half=X.half/2;
/**
*建立動態二維陣列的過程
*如果這裡使用vector感覺會更加方便
*/
int**p=new int*[n+1];
for(int i=0;i<=n;i++)
p[i]=new int[n+1];
for(int i=0; i<=n;i++)
for(int j=0; j<=n;j++)
p[i][j]=0;
X.p=p;
/**
* 為了方便直接，所以從1開始
*/
X.Backtrack(1);
/**
* 回收空間
*/
for(int i=0;i<=n;i++)
delete []p[i];
delete []p;
p=0;
return X.sum;
}
int main()
{
Triangle MainName;
int n;
cin>>n;
cout<<Compute(n)<<endl;
system("pause");
return 0;
}
執行結果：
五、實驗題
1.演算法實現題：整數變換問題。
整數i的兩種變換定義為 ， （向下取整）；設計一個演算法求給定兩個整數a和b，用最少次數的 和 變換將整數a變換為b；例如
實現提示：
觀察f和g兩個操作可知，f總是使得i變大，g總是使得i變小。因此在決定讓x執行哪個操作之前可以先判斷i和目標值m之間的大小關係。如果x>m，就讓其執行g操作；反之，執行f操作。
問題的解分為兩種情況，一種是有解，即n可以通過函式變換成m；另一種是無解，即n無法通過函式變換成m。
有解的情況比較容易，只需要判斷最後的i是否等於m即可。如果i等於m，那麼說明n已經被變換成m了，遞迴返回。
無解的情況可用下例分析。假設我們的輸入n=9,m=5。
n>m,執行g,n=[9/2]=4
n<m,執行f,n=3*4=12
n>m,執行g,n=[12/2]=6
n>m,執行f,n=[6/2]=3
n<m,執行g,n=3*3=9
n>m,執行f,n=[9/2]=4
如果n的值陷入了一個重複的迴圈，如果在遞迴的過程中，出現了前面計算過的元素，那就說明n是無法轉換成m的。這種方法實現稍微複雜，需要判斷當前所求出的數值之前是否出現過。 另一種簡單的處理方式： 對於m無論如何變換都不能變為n的情況，可以加一個判斷條件，比如深度達一個較大值為止（如1000）。
執行程式碼：
#include<iostream>
using namespace std;
int a,b;
int k,found;
int *p;
int f(int i)
{
return 3*i;
}
int g(int i)
{
return i/2;
}
//判斷是否存在，m代表層數，n表示需要變化的數
int changed(int m,int n)
{
int i,s;
//終止條件
if(m>k)return 0;
for(i=0;i<2;i++)
{
s=n;
if(i==0)s=g(s);
else s=f(s);
p[m]=i;
//回溯
if(s==b||changed(m+1,s))
{
found=1;
return 1;
}
}
return 0;
}
void compared()
{
k=1;
found=0;
while(!changed(1,a))
{
k++;
if(k>100)break;
if(found!=0)break;
}
}
int main()
{
p=new int[100];
int i;
for(i=0;i<100;i++)p[i]=0;
cout<<"請依次輸入a和b的值: "<<endl;
cin>>a>>b;
compared();
if(found)
{
cout<<"運算次數為:"<<k<<endl;
cout<<"運算轉換過程為: ";
for(i=k;i>=1;i--)
{
if(p[i]==0)cout<<"g";
if(p[i]==1)cout<<"f";
}
}
else cout<<a<<" 無法轉換成 "<<b<<endl;
system("pause");
return 0;
}
2. 子集和問題。
問題描述：給定集合S，S中有n個正整數，M是一個正整數。子集和問題判定是否存在S的一個子集S1，使得S1中各元素之和等於M。請設計回溯法求解子集和問題，如果問題無解，輸出“No Solution”,問題有解，則輸出滿足子集S1中各元素的值。
子集樹問題：
執行程式碼：
#include<iostream>
using namespace std;
bool found=false;
int sum,tempSum;
int n,*p,*number;
void Backtrack(int t)
{
if(t==n)
{
if(sum==tempSum)
{
found=true;
cout<<"子集為:";
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(p[i]) cout<<" "<<number[i];
}
cout<<endl;
}
return;
}
for(int i=0;i<2;i++)
{
p[t]=i;
if(i==1) tempSum=tempSum+number[t];
Backtrack(t+1);
if(i==1) tempSum=tempSum-number[t];
}
}
int main()
{
cout<<"輸入陣列長度：";
cin>>n;
cout<<endl<<"輸入資料和：";
cin>>sum;
tempSum=0;
number=new int [n];
p=new int [n];
cout<<endl<<"輸入陣列：";
for(int i=0;i<n;i++)
{
p[i]=0;
cin>>number[i];
}
Backtrack(0);
if(!found) cout<<"No Solution! "<<endl;
system("pause");
return 0;
}
執行結果:
3. 工作分配問題。
問題描述：設有n件工作分配給n個人。將工作i分配給第j個人的費用為cij,請設計演算法，為每個人都分配1件不同的工作，並使得總費用達到最小。
實現提示：該問題的解空間是一棵排列樹，可用搜尋排列樹的回溯框架實現。
執行程式碼：
#include<iostream>
#include<string.h>
#define MaxSize 20
using namespace std;
int nowVal=0,minVal=10000;
int a[MaxSize][MaxSize];//二維陣列
int n,*work;//work陣列代表工作是否被佔領，初始化為0
void Input()
{
int i,j;
cin>>n;
work=new int[n];
for(i=0;i<n;i++) work[i]=0;
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
cin>>a[i][j];
}
void BackTrack(int row)
{
int col;
if(row==n&&nowVal<minVal)
{
minVal=nowVal;
return ;
}
else
{
for(col=0;col<n;col++)
{
if(work[col]==0)
{
work[col]=1;
nowVal=nowVal+a[row][col];
if(nowVal<minVal) BackTrack(row+1);//剪枝操作
nowVal=nowVal-a[row][col];//回溯演算法實現
work[col]=0;
}
}
}
}
int main()
{
Input();
BackTrack(0);
cout<<minVal<<endl;
system("pause");
return 0;
}
執行結果：
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