MATLAB符號數學筆記（一）

問題描述：做考研電路運算電路部分的題目時，列寫了節點電壓方程後運算化簡遇到了困難，想到用matlab的來讓計算變簡單，實現我的思路。待整理的方程是這樣的
$$(\frac{1}{2}+\frac{1}{1+0.1s}+\frac{s}{2})U_1(s)=\frac{12}{s}-\frac{1}{1+0.1s}+5$$

解得：$$U_1(s)=\frac{8}{s}+\frac{6}{s+5}-\frac{4}{s+6}$$
這一步思路簡單，但是硬算很費勁。

趕緊開啟MATLAB，寫了幾行程式碼：

clear
syms s
f1=1/2+1/(1+0.1*s)+s/2
f2=12/s-1/(1+0.1*s)+5
U1(s)=f2/f1
U(s)=simplify(U1(s))
ilaplace(U(s))

使用符號數學首先要定義變數，我們這裡只用到一個變數 $s$ ，直接用右邊除以左邊得到下面這樣的式子。

$$U_1(s)=\frac{\frac{12}{s}-\frac{1}{\frac{s}{10}+1}+5}{\frac{s}{2}+\frac{1}{\frac{s}{10}+1}+\frac{1}{2}}$$

顯然，這並不是我們想要的結果，於是我們整理了一下得到：

$$U(s)=\frac{10s^2+104s+240}{s\left(s^2+11s+30\right)}$$

對上式求拉普拉斯反變換得到電容上的響應為：

$$u(t)=6{\mathrm{e}}^{-5t}-4{\mathrm{e}}^{-6t}+8$$

在手動演算過程中，我們常用部分分式展開法求拉普拉斯反變換，如何用matlab體現這一過程呢？下面考慮使用部分分式展開法求$u(t)$：
用部分分式展開法求解的關鍵是求出留數和極點，在matlab中執行下面的程式碼，得到下面的結果，其中r是留數，p是極點，k是餘項：

num=[10 104 240];
den=[1 11 30 0];
[r,p,k]=residue(num,den)
printsys(num,den,'s');
u(t)=-4/(s+6)+6/(s+5)+8/s
latex(u(t))

---

r =
-4.0000
6.0000
8.0000
p =
-6.0000
-5.0000
0
k =
[]

---

我們根據留數和極點的一一對應關係可以寫出，部分分式展開式為：
$$U(s)=\frac{-4}{s+6}+\frac{6}{s+5}+\frac{8}{s}$$
把它輸入到matlab中得到下面這個式子，就是整理了一下而已。
$$U(s)=\frac{6}{s+5}-\frac{4}{s+6}+\frac{8}{s}$$
對$U(s)$求拉普拉斯反變換得:
$$u(t)=6{\mathrm{e}}^{-5t}-4{\mathrm{e}}^{-6t}+8$$
完成。