授課老師：ybx、chh。
授課時間：2024/3/8。
授課內容綱要：勒讓德符號及其性質（尤拉準則，高斯引理，二次互反律）。
勒讓德符號概括
好像在 OI 和 MO 當中都挺有用的。
勒讓德符號的定義
假設 \(p\) 為奇質數，\(a\in U_p\)（\(U_p=\{1,2,\dots,p-1\}\)），則：
勒讓德符號的性質
尤拉準則
證明：如果存在 \(x^2\equiv a\pmod p\)，那麼 \(a^{\frac{p-1}{2}}\equiv x^{p-1}\equiv 1\pmod p\)。我們知道 \(a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\pmod p\) 這個方程在 \(\bmod p\) 意義下只有 \(\dfrac{p-1}{2}\) 個根，剛好就是所有的 \(x^2\pmod p\)。
QED。
透過尤拉準則，在 OI 中可以使用 \(\mathcal O(\log p)\) 的演算法來解勒讓德符號，但是尤拉準則使用情況在 MO 中並不是太理想。
【例題】求解 \(\left(\dfrac{-1}{p}\right)\)。
解答：\(\left(\dfrac{-1}{p}\right)\equiv(-1)^{(p-1)/2}\)。所以如果 \(p\equiv 1\pmod 4\) 那麼 \(-1\) 是二次剩餘，如果 \(p\equiv3\pmod 4\) 那麼不是。
【例題】證明 \(4n+1\) 型質數是無窮的。
解答：反之，記為 \(p_1,p_2,\dots,p_n\)。取 \(m=(2p_1p_2\dots p_n)^2+1\)，取 \(m\) 任意質因子 \(p\)。
由於 \(p|m\)，得到 \(-1\equiv (2p_1p_2\dots p_n)^2\pmod p\)，也就是 \(-1\) 為 \(\bmod p\) 意義下的二次剩餘，得到 \(p\equiv1\pmod 4\)。然而 \(p\not\in\{p_1,p_2,\dots,p_n\}\)，矛盾！
在進入高斯引理之前先引入幾個記號：
定義 \(P_p=\{1,2,\dots,\dfrac{p-1}{2}\}\)，\(N_p=\{-1,-2,\dots,-\dfrac{p-1}{2}\}\)。定義集合的數乘，據此定義得到 \(N_p=(-1)P_p\)。
高斯引理
假設 \(p\) 為奇質數，\(a\in U_p\)，則：
證明：假設 \(x\not = y\in P\)，得到 \(xa\not\equiv±ya\pmod p\)，進而：\(aP\) 可以表示成二元集合 \(\{±1\},\{±2\},\dots,\{±\dfrac{p-1}{2}\}\)，每個集合選一個元素的集合。
形式化的，\(aP=\{\epsilon_ii|i\in P,\epsilon_i\in\{-1,1\}\}\)。
考慮算兩次 \(\prod_{i\in aP}i\)。
第一次：\(\prod_{i\in aP}i=\prod_{i\in P}ai=a^{\frac{p-1}{2}}\left(\dfrac{p-1}{2}\right)!\)。
第二次：\(\prod_{i\in aP}i=\prod\epsilon_i\times\left(\dfrac{p-1}{2}\right)\)。
得到 \(\prod \epsilon_i\equiv a^{\frac{p-1}{2}}\pmod p\)。
顯然 \(\prod \epsilon_i\) 是 \(1\) 還是 \(-1\) 取決於其中 \(-1\) 的數量，也就是 \(\mu\) 的奇偶性。
QED。
透過尤拉準則，我們可以簡單的手膜 \(a\) 比較小的二次剩餘。
【例題】證明 \(\left(\dfrac 2p\right)=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}}\)。也就是 \(2\) 是 \(\bmod p\) 的二次剩餘當且僅當 \(p\equiv ±1\pmod 4\)。
把 \(aP\) 算一下就可以了。
二次互反律
假設 \(p,q\) 為不同的奇質數，則：
證明：
根據高斯引理，\(|pP_q\cap N_q|\) 意義就是滿足下述條件的 \(x\) 的數量：\(x\in P_q,px\in N_q\)。
即 \(0<x<\dfrac q2\) 且存在整數 \(y\) 使得 \(-\dfrac q2<px-qy<0\)。這裡一個 \(x\) 只會對應一個 \(y\)，也就是對 \(x\) 計數等價於給合法的 \((x,y)\) 對計數。
根據不等式右邊容易推出 \(y>0\)，根據左邊得到 \(qy<px+\dfrac q2<\dfrac{pq}2+\dfrac q2\)，也就是 \(y<\dfrac{p+1}{2}\)。
也就是我們要對 \(0<x<\dfrac q2,0<y<\dfrac p2\)，且 \(-\dfrac q2<px-qy<0\) 的 \((x,y)\) 對計數。
我們考慮對 \(\left(\dfrac qp\right)\) 使用同樣的操作，同樣的化簡可以得到是等價於：
- 對 \(0<x<\dfrac q2,0<y<\dfrac p2\)，且 \(0<px-qy<\dfrac p2\) 的 \((x,y)\) 對計數。
由於我們計算的是上面兩個東西的即，我們只需要把滿足這兩個情況之一的 \((x,y)\) 對計數即可。
注意到 \(px-qy\not=0\)，也就是可以換成 \(-\dfrac q2<px-qy<\dfrac p2\)。搬一張圖大概長這樣：
其中 \(A,B\) 部分是不滿足的，中間長條部分是滿足的。
經過計算不難發現 \(A,B\) 是全等的，也就是滿足條件的 \((x,y)\) 對的奇偶性等價於這個矩形內部的整點個數 \(\dfrac{p-1}{2}\dfrac{q-1}{2}\)。
QED。
這種方式，我們可以解決 \(\left(\dfrac 3p\right)\) 之類的問題。