題目描述
\(Frank\) 對天文學非常感興趣，他經常用望遠鏡看星星，同時記錄下它們的資訊，比如亮度、顏色等等，進而估算出星星的距離，半徑等等。
\(Frank\) 不僅喜歡觀測，還喜歡分析觀測到的資料。他經常分析兩個引數之間（比如亮度和半徑）是否存在某種關係。
現在 \(Frank\) 要分析引數 \(X\) 與 \(Y\) 之間的關係。他有 \(n\) 組觀測資料，第 \(i\) 組觀測資料記錄了 \(x_i\) 和 \(y_i\)。他需要一下幾種操作
\(1\ L,R：\)
用直線擬合第 \(L\) 組到第 \(R\) 組觀測資料。用 \(\overline{x}\) 表示這些觀測資料中 \(x\) 的平均數，用 \(\overline{y}\) 表示這些觀測資料中 \(y\) 的平均數，即
\(\overline{x}={1 \over R-L+1} \sum _{i=L} ^R x_i\)
\(\overline{y}={1 \over R-L+1} \sum _{i=L} ^R y_i\)
如果直線方程是 \(y=ax+b\)，那麼 \(a,b\) 應當這樣計算：
\(a={\sum_{i=L} ^R (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}) \over \sum _{i=L} ^R (x_i -\overline{x})^2}\)
你需要幫助 \(Frank\) 計算 \(a\)。
\(2\ L,R,S,T：\)
\(Frank\) 發現測量資料第 \(L\) 組到第 \(R\) 組資料有誤差，對每個 \(i\) 滿足 \(L \leq i \leq R\)，\(x_i\) 需要加上 \(S\)，\(y_i\) 需要加上\(T\)。
\(3\ L,R,S,T：\)
\(Frank\)發現第 \(L\) 組到第 \(R\) 組資料需要修改，對於每個 \(i\) 滿足 \(L \leq i \leq R\)，\(x_i\)需要修改為 \((S+i)\)，\(y_i\) 需要修改為 \((T+i)\)。
輸入格式
第一行兩個數 \(n,m\)，表示觀測資料組數和操作次數。
接下來一行 \(n\) 個數，第 \(i\) 個數是 \(x_i\)。
接下來一行 \(n\) 個數，第 \(i\) 個數是 \(y_i\)。
接下來 \(m\) 行，表示操作，格式見題目描述。
輸出格式
對於每個 \(1\) 操作，輸出一行，表示直線斜率 \(a\)。選手輸出與標準輸出的絕對誤差或相對誤差不超過 \(10^{-5}\) 即為正確。
輸入輸出樣例
輸入 #1
3 5
1 2 3
1 2 3
1 1 3
2 2 3 -3 2
1 1 2
3 1 2 2 1
1 1 3
輸出 #1
1.0000000000
-1.5000000000
-0.6153846154
說明/提示
對於 \(20\%\) 的資料 \(1 \leq n,m \leq 1000\)
另有 \(20\%\) 的資料，沒有 \(3\) 操作，且 \(2\) 操作中 \(S=0\)
另有 \(30\%\) 的資料，沒有 \(3\) 操作。
對於 \(100\%\) 的資料，\(1 \leq n,m \leq 10^5,0 \leq |S|,|T| \leq 10^5,0 \leq |x_i|,|y_i| \leq 10^5\)
保證 \(1\) 操作不會出現分母為 \(0\) 的情況。
時間限制：\(1s\)
空間限制：\(128MB\)
分析
把式子化簡，就會得到
\(\begin{aligned} & \sum (x_i - \bar x)(y_i - \bar y) \\ = & \sum (x_i y_i - x_i \bar y - y_i \bar x_i + \bar x \bar y) \\ = & \sum x_i y_i - \bar y\sum x_i - \bar x\sum y_i + n\bar x \bar y \\ = & \sum x_i y_i - n\bar x \bar y \\ \\ & \sum (x_i - \bar x)^2 \\ = & \sum (x_i^2 + {\bar x}^2 - 2x_i\bar x) \\ = & \sum x_i^2 +n{\bar x}^2 - 2\bar x\sum x_i \\ = & \sum x_i^2 -n {\bar x}^2\\ \end{aligned}\)
那麼我們要維護的東西就是 \(x_i\)、\(y_i\) 和 \(x_iy_i\)
對於操作 \(2\)
\(\begin{aligned} &\sum x_i\to\sum(x_i+S)=\sum x_i+nS \\ &\sum y_i\to\sum(y_i+T)=\sum y_i+nT \\ &\sum x_i^2\to\sum(x_i+S)^2=\sum x_i^2+nS^2+2S\sum x_i\\ &\sum x_i y_i \to\sum(x_i+S)(y_i+T)=\sum x_i y_i+T\sum x_i+S\sum y_i+nST \\ \end{aligned}\)
對於操作 \(3\)
\(\begin{aligned} &\sum x_i\to\sum(i+S)=s_1+nS \\ &\sum y_i\to\sum(i+T)=s_1+nT \\ &\sum x_i^2\to\sum(i+S)^2=s_2+nS^2+2Ss_1\\ &\sum x_i y_i \to\sum(i+S)(i+T)=s_2+(T+S)s_1+nST\\ \end{aligned}\)
其中 \(s_1\) 是等差數列的求和公式 \(\frac{n(n+1)}{2}\)
\(s_2\) 是 \(i^2\) 的字首和 \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
注意下放標記的時候只要有一個不為零就要下放
要先下放覆蓋的標記，再下放加的標記
程式碼
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define rg register
const int maxn = 1e5 + 5;
typedef double db;
int n, m;
db jlx[maxn], jly[maxn];
struct trr {
int l, r, siz;
db sumx, sumy, sumxx, sumxy, lazx, lazy, tagx, tagy;
trr() {
tagx = tagy = 1e18;
sumx = sumy = sumxx = sumxy = lazx = lazy = 0;
l = r = siz = 0;
}
} tr[maxn << 2];
db getsum1(int l, int r) { return (db)(r - l + 1.0) * (l + r) / 2.0; }
db getsum2(int r) { return (db)r * (r + 1.0) * (2.0 * r + 1.0) / 6.0; }
void push_up(int da) {
tr[da].sumx = tr[da << 1].sumx + tr[da << 1 | 1].sumx;
tr[da].sumy = tr[da << 1].sumy + tr[da << 1 | 1].sumy;
tr[da].sumxx = tr[da << 1].sumxx + tr[da << 1 | 1].sumxx;
tr[da].sumxy = tr[da << 1].sumxy + tr[da << 1 | 1].sumxy;
}
void push_down(int da) {
if (tr[da].tagx != 1e18 || tr[da].tagy != 1e18) {
tr[da << 1].tagx = tr[da].tagx;
tr[da << 1 | 1].tagx = tr[da].tagx;
tr[da << 1].tagy = tr[da].tagy;
tr[da << 1 | 1].tagy = tr[da].tagy;
tr[da << 1].sumx = tr[da].tagx * tr[da << 1].siz + getsum1(tr[da << 1].l, tr[da << 1].r);
tr[da << 1 | 1].sumx =
tr[da].tagx * tr[da << 1 | 1].siz + getsum1(tr[da << 1 | 1].l, tr[da << 1 | 1].r);
tr[da << 1].sumy = tr[da].tagy * tr[da << 1].siz + getsum1(tr[da << 1].l, tr[da << 1].r);
tr[da << 1 | 1].sumy =
tr[da].tagy * tr[da << 1 | 1].siz + getsum1(tr[da << 1 | 1].l, tr[da << 1 | 1].r);
tr[da << 1].sumxx = tr[da << 1].siz * tr[da].tagx * tr[da].tagx +
2.0 * tr[da].tagx * getsum1(tr[da << 1].l, tr[da << 1].r) +
getsum2(tr[da << 1].r) - getsum2(tr[da << 1].l - 1);
tr[da << 1 | 1].sumxx = tr[da << 1 | 1].siz * tr[da].tagx * tr[da].tagx +
2.0 * tr[da].tagx * getsum1(tr[da << 1 | 1].l, tr[da << 1 | 1].r) +
getsum2(tr[da << 1 | 1].r) - getsum2(tr[da << 1 | 1].l - 1);
tr[da << 1].sumxy = tr[da << 1].siz * tr[da].tagx * tr[da].tagy +
(tr[da].tagx + tr[da].tagy) * getsum1(tr[da << 1].l, tr[da << 1].r) +
getsum2(tr[da << 1].r) - getsum2(tr[da << 1].l - 1);
tr[da << 1 | 1].sumxy = tr[da << 1 | 1].siz * tr[da].tagx * tr[da].tagy +
(tr[da].tagx + tr[da].tagy) * getsum1(tr[da << 1 | 1].l, tr[da << 1 | 1].r) +
getsum2(tr[da << 1 | 1].r) - getsum2(tr[da << 1 | 1].l - 1);
tr[da].tagx = tr[da].tagy = 1e18;
tr[da << 1].lazx = tr[da << 1 | 1].lazx = tr[da << 1].lazy = tr[da << 1 | 1].lazy = 0;
}
if (tr[da].lazx != 0 || tr[da].lazy != 0) {
tr[da << 1].lazx += tr[da].lazx;
tr[da << 1 | 1].lazx += tr[da].lazx;
tr[da << 1].lazy += tr[da].lazy;
tr[da << 1 | 1].lazy += tr[da].lazy;
tr[da << 1].sumxx +=
2.0 * tr[da].lazx * tr[da << 1].sumx + tr[da << 1].siz * tr[da].lazx * tr[da].lazx;
tr[da << 1 | 1].sumxx +=
2.0 * tr[da].lazx * tr[da << 1 | 1].sumx + tr[da << 1 | 1].siz * tr[da].lazx * tr[da].lazx;
tr[da << 1].sumxy += tr[da << 1].sumx * tr[da].lazy + tr[da << 1].sumy * tr[da].lazx +
tr[da << 1].siz * tr[da].lazx * tr[da].lazy;
tr[da << 1 | 1].sumxy += tr[da << 1 | 1].sumx * tr[da].lazy + tr[da << 1 | 1].sumy * tr[da].lazx +
tr[da << 1 | 1].siz * tr[da].lazx * tr[da].lazy;
tr[da << 1].sumx += tr[da << 1].siz * tr[da].lazx;
tr[da << 1 | 1].sumx += tr[da << 1 | 1].siz * tr[da].lazx;
tr[da << 1].sumy += tr[da << 1].siz * tr[da].lazy;
tr[da << 1 | 1].sumy += tr[da << 1 | 1].siz * tr[da].lazy;
tr[da].lazx = tr[da].lazy = 0;
}
}
void build(int da, int l, int r) {
tr[da].l = l, tr[da].r = r, tr[da].siz = r - l + 1;
if (tr[da].l == tr[da].r) {
tr[da].sumx = jlx[l];
tr[da].sumy = jly[l];
tr[da].sumxx = jlx[l] * jlx[l];
tr[da].sumxy = jlx[l] * jly[l];
return;
}
rg int mids = (tr[da].l + tr[da].r) >> 1;
build(da << 1, l, mids);
build(da << 1 | 1, mids + 1, r);
push_up(da);
}
void ad(int da, int l, int r, db valx, db valy) {
if (tr[da].l >= l && tr[da].r <= r) {
tr[da].lazx += valx;
tr[da].lazy += valy;
tr[da].sumxx += 2.0 * valx * tr[da].sumx + tr[da].siz * valx * valx;
tr[da].sumxy += tr[da].sumx * valy + tr[da].sumy * valx + tr[da].siz * valx * valy;
tr[da].sumx += tr[da].siz * valx;
tr[da].sumy += tr[da].siz * valy;
return;
}
push_down(da);
rg int mids = (tr[da].l + tr[da].r) >> 1;
if (l <= mids)
ad(da << 1, l, r, valx, valy);
if (r > mids)
ad(da << 1 | 1, l, r, valx, valy);
push_up(da);
}
void xg(int da, int l, int r, db valx, db valy) {
if (tr[da].l >= l && tr[da].r <= r) {
tr[da].lazx = 0, tr[da].lazy = 0;
tr[da].tagx = valx;
tr[da].tagy = valy;
tr[da].sumx = valx * tr[da].siz + getsum1(tr[da].l, tr[da].r);
tr[da].sumy = valy * tr[da].siz + getsum1(tr[da].l, tr[da].r);
tr[da].sumxx = tr[da].siz * valx * valx + 2.0 * valx * getsum1(tr[da].l, tr[da].r) +
getsum2(tr[da].r) - getsum2(tr[da].l - 1);
tr[da].sumxy = tr[da].siz * valx * valy + (valx + valy) * getsum1(tr[da].l, tr[da].r) +
getsum2(tr[da].r) - getsum2(tr[da].l - 1);
return;
}
push_down(da);
rg int mids = (tr[da].l + tr[da].r) >> 1;
if (l <= mids)
xg(da << 1, l, r, valx, valy);
if (r > mids)
xg(da << 1 | 1, l, r, valx, valy);
push_up(da);
}
db cxx(int da, int l, int r) {
if (tr[da].l >= l && tr[da].r <= r) {
return tr[da].sumx;
}
push_down(da);
rg int mids = (tr[da].l + tr[da].r) >> 1;
rg db nans = 0;
if (l <= mids)
nans += cxx(da << 1, l, r);
if (r > mids)
nans += cxx(da << 1 | 1, l, r);
return nans;
}
db cxy(int da, int l, int r) {
if (tr[da].l >= l && tr[da].r <= r) {
return tr[da].sumy;
}
push_down(da);
rg int mids = (tr[da].l + tr[da].r) >> 1;
rg db nans = 0;
if (l <= mids)
nans += cxy(da << 1, l, r);
if (r > mids)
nans += cxy(da << 1 | 1, l, r);
return nans;
}
db cxxx(int da, int l, int r) {
if (tr[da].l >= l && tr[da].r <= r) {
return tr[da].sumxx;
}
push_down(da);
rg int mids = (tr[da].l + tr[da].r) >> 1;
rg db nans = 0;
if (l <= mids)
nans += cxxx(da << 1, l, r);
if (r > mids)
nans += cxxx(da << 1 | 1, l, r);
return nans;
}
db cxxy(int da, int l, int r) {
if (tr[da].l >= l && tr[da].r <= r) {
return tr[da].sumxy;
}
push_down(da);
rg int mids = (tr[da].l + tr[da].r) >> 1;
rg db nans = 0;
if (l <= mids)
nans += cxxy(da << 1, l, r);
if (r > mids)
nans += cxxy(da << 1 | 1, l, r);
return nans;
}
db getx(int l, int r) { return (db)cxx(1, l, r) / (r - l + 1); }
db gety(int l, int r) { return (db)cxy(1, l, r) / (r - l + 1); }
void solve(int l, int r) {
db ans1 = cxxy(1, l, r) - (db)(r - l + 1) * getx(l, r) * gety(l, r);
db ans2 = cxxx(1, l, r) - (db)(r - l + 1) * getx(l, r) * getx(l, r);
printf("%.10f\n", ans1 / ans2);
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
for (rg int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%lf", &jlx[i]);
}
for (rg int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%lf", &jly[i]);
}
build(1, 1, n);
rg int aa, bb, cc;
db dd, ee;
for (rg int i = 1; i <= m; i++) {
scanf("%d%d%d", &aa, &bb, &cc);
if (aa == 1) {
solve(bb, cc);
} else if (aa == 2) {
scanf("%lf%lf", &dd, &ee);
ad(1, bb, cc, dd, ee);
} else {
scanf("%lf%lf", &dd, &ee);
xg(1, bb, cc, dd, ee);
}
}
return 0;
}