八位“Booth二位乘演算法”乘法器
原理
補碼乘法器
之前介紹了幾篇無符號乘法器或加法器的寫法，當然，稍作修改也就可以改成符合有符號數的乘法器或加法器。
但是呢，我們之前寫的乘法器或加法器，其實都是預設是正數來寫的，而且是以正數的原碼來寫的，所以上面說稍作修改也就可以成為有符號數的乘法器或加法器，其實就是對我們以為的原碼進行取補碼，再進行乘法或加法的運算。
隨著計算機硬體部件的升級，處理器技術的發展，現代處理器中的定點數(小數點位置固定)都是按照補碼形式來儲存的。
所以在之前寫的無符號加法器中，只要利用：
就可以輕易將原先的加法器改寫成有符號加法器——只要對結果再取一次補碼即可。
但是乘法器呢？稍作學習可以知道，補碼的乘法是這樣的：
我們再考慮一下之前所說的：在現代處理器中的定點數都是按照補碼形式來儲存的。
所以我們要想得到兩個數的乘法結果，首先應該知道被乘數的原碼和補碼，再對最終結果取補碼，即可得到我們期望的乘法結果。
那麼如何求“X*Y補”呢？在處理器中，一個二進位制數Y補形如y7y6y5y4y3y2y1y0，也就是表示一個數的補碼，那麼它的原碼是多少呢？
補碼的計算方法，除了“首位不變，餘位取反再加一”的方式，還有一種就是“用溢位條件來減這個數”，在我們之前第一節課說二進位制的時候，以鐘錶為例——“十二進位制”，得到結論——“4是-8的補碼”。
我們用第二種取補碼的方式：-8的補碼=12-8=4（這裡沒有考慮符號問題，只是求了補碼的值）
所以考慮一下符號的話，-8的補碼=8-12=-4
同理：
十進位制下，-4的補碼=4-10=-6
二進位制下，-101補碼=1101補碼=101-1000=-011=1011
這樣解決求補碼的方式在接下來的計算方面就更方便了，至於正數嘛，不變就好了。
回到上面的問題，一個二進位制數Y補形如y7y6y5y4y3y2y1y0，它的原碼是多少呢？根據：
Y補的原碼Y應該為：
稍微化簡一下：
所以我們如果想求X*Y，可以先求其補碼：
根據補碼加法“X補+Y補=[X+Y]補”再稍微化簡一下：
再引入一個定理：
所以上式又可以換一種寫法：
哦這不就是上面介紹過的補碼乘法嘛：
如果令一個數Y1補=y6y6y5y4y3y2y1y0，去掉了首位，那麼上式是不是可以理解為：
其中的Y1補不就剛好是Y補的後7位嘛？也就是說一個乘法可以分為兩部分理解：首位的乘法和其他位的乘法。首位的乘法產生的部分積符號是減，其他位的部分積符號為加。
經過上面的推導大家應該會對補碼乘法的原理有了一定的概念，我們來把它寫成豎式的形式，以(-6)x(-7)為例，原碼乘應該是1110x1111，在計算機中是以補碼的形式儲存，所以補碼乘是1010x1001，代入公式，令X補=1010，Y補=1001，其運算過程如下：
這裡可能有一些迷惑的是：為什麼第一步運算得到的結果是11111010？為什麼要在前面填充1111？
這也就是所謂的符號填充，我們之前的設計中都沒有涉及到符號位，所以預設都是填充0，現在遇到了負數問題，也就需要填充符號了，但是這樣看起來是不是一點都覺得很奇怪？如果沒辦法理解的話，我建議你可以嘗試對它求補碼，看看是不是可以保持首位符號位不變，餘位取反加一。驚歎於設計師的機智。
補碼乘法器的原理講明白了，具體電路實現的話，大家可以嘗試一下，本節重點不在於此。
Booth一位乘
在上面已經討論了補碼乘法器的原理，那麼什麼是Booth乘法器呢？Booth乘法器是由英國的Booth夫婦提出的，並沒有什麼特殊含義，所以我們直接快進到內容。
經過補碼乘法器的推導：
參考中學數學：
其核心計算思想是括號裡的形式，也就是Y補的原碼Y，所以我們對括號裡的內容再進行分解合併，也就是對Y分解合併。先分解：
這樣應該挺直觀了吧：
再合併：
最後有個0-y0的項，看起來有點不合群，所以令：
代入上式，即：
這也就是Booth一位乘演算法的原理。其優點就在於不用再像補碼乘法器那樣，不需要專門對最後一次部分積採用補碼減法。
根據上式，還可以列出Booth一位乘的規則：
| y(i-1) | y(i) | y(i-1) - y(i) | 操作 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 加0 |
| 0 | 1 | -1 | 減X補 |
| 1 | 0 | 1 | 加X補 |
| 1 | 1 | 0 | 加0 |
再舉個例子來計算，仍以(-6)x(-7)為例，補碼乘是1010x1001，列出豎式：
可是這裡為什麼還是有減法呢？和常規的補碼乘法器相比，簡直是老和尚抹洗頭膏，大可不必。甚至由於每次判斷兩位數字，增大了電路的複雜度，那麼為什麼booth乘法器如此好用呢？
其實booth一位乘演算法並不常用，但是booth二位乘就不一樣了，通過增加一定的空間複雜度，將運算週期減為一半！
Booth二位乘
還是根據補碼乘法器，我們將Y的表示式再進行變換——先分解：
再整合：
好了Booth二位乘演算法也完事了，類比於Booth一位乘，我們也可以列出Booth二位乘的規則：
| y(i-1) | y(i) | y(i+1) | y(i-1) + y(i) - 2*y(i+1) | 操作 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 加0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 加X補 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 加X補 |
| 1 | 1 | 0 | 2 | 加2*X補，即X補<<1 |
| 0 | 0 | 1 | -2 | 減2*X補，即X補<<1 |
| 0 | 1 | 1 | -1 | 減X補 |
| 1 | 0 | 1 | -1 | 減X補 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 加0 |
再舉個例子來計算，仍以(-6)x(-7)為例，補碼乘是1010x1001，列出豎式：
運算週期減半了！
好了，那Booth乘法器有沒有三位乘呢？可以有，但是三位的時候就會出現加3*X補，2*X補可以通過左移一位得到，而3*X補就有點麻煩了，所以不再介紹，至於四位乘、八位乘，想挑戰的同學可以挑戰一下。
設計思路
減法變加法
首先我們來解決一個問題，如何把減法消除？我們知道，減去一個數，等於加上這個數的相反數；減去一個數，也等於加上這個數的補碼。這個過程中的減數也預設是正數，因為正數的補碼還是正數，只有正數前面加一個符號再去補碼才有用。那麼如上面豎式所寫，減去一個負補碼，就應該等於加上“這個負補碼的補碼的相反數”，比如上面的補碼乘法器豎式，就應該變換成如下形式：
再說明一下吧：減11010，就相當於加11010的補碼的相反數，即加10110的相反數，即00110。
所以booth一位乘演算法的示例應該變成這樣：
booth二位乘演算法的示例應該變成這樣：
vivado特性
考慮到上述減法變加法的操作後，容易總結出：減法變加法，其實就是對補碼的符號位取反，也就是對減數每一位取反後再加一。
再回讀一邊上述的理論部分，可能你會發現，在乘法運算中，只用到了補碼和“負補碼”兩種概念的數字。而在vivado中（相當於在處理器中），數字預設是以補碼形式儲存的，即輸入的乘數預設就是補碼形式，這樣只需要再求出“負補碼”即可。設X[3:0]表示一個乘數，預設是以補碼形式儲存，則其“負補碼”：
至於其原碼：
其實根本用不著。
有了以上知識儲備，我們就可以寫程式碼啦~
設計檔案
//由於實力不夠，沒能設計成改一個數字變一個規模的程式
`define size 8
module mul_booth_signed(
input wire [`size - 1 : 0] mul1,mul2,
input clk,
input wire [2:0] clk_cnt,//運算節拍，相當於狀態機了，8位的話每次運算有4個拍
output wire [2*`size - 1 : 0] res
);
//由於傳值預設就是補碼，所以只需要再計算“負補碼”即可
wire [`size - 1 : 0] bmul1,bmul2;
assign bmul1 = (~mul1 + 1'b1) ;
assign bmul2 = (~mul2 + 1'b1) ;//其實乘數2的負補碼也沒用到。
//其實可以把狀態機的開始和結束狀態都寫出來，我懶得寫了，同學們可以嘗試一下啊~
parameter zeroone = 3'b00,
twothree = 3'b001,
fourfive = 3'b010,
sixseven = 3'b011;
//y(i-1),y(i),y(i+1)三個數的判斷暫存器，由於有多種情況，也可以看成狀態機（也可以改寫成狀態機形式，大家自己試試吧）
reg [2:0] temp;
//部分積
reg [2*`size-1 : 0] A;
//每個節拍下把相應位置的資料傳給temp暫存器
always @ (posedge clk) begin
case(clk_cnt)
zeroone : temp <= {mul2[1:0],1'b0};
twothree : temp <= mul2[3:1];
fourfive : temp <= mul2[5:3];
sixseven : temp <= mul2[7:5];
default : temp <= 0;
endcase
end
always @(posedge clk) begin
if (clk_cnt == 3'b100) begin//如果節拍到4就讓部分積歸0，此時已經完成一次計算了
A <= 0;
end else case (temp)
3'b000,3'b111 : begin//這些是從高位到低位的判斷，別看反了噢
A <= A + 0;
end
3'b001,3'b010 : begin//加法操作使用補碼即可，倍數利用左移解決
A <= A + ({{8{mul1[`size-1]}},mul1} << 2*(clk_cnt-1));
end
3'b011 : begin
A <= A + ({{8{mul1[`size-1]}},mul1} << 2*(clk_cnt-1) + 1);
end
3'b100: begin//減法操作利用“負補碼”改成加法操作，倍數利用左移解決
A <= A + ({{8{bmul1[`size-1]}},bmul1} << 2*(clk_cnt-1) + 1);
end
3'b101,3'b110 : begin
A <= A + ({{8{bmul1[`size-1]}},bmul1} << 2*(clk_cnt-1));
end
default: A <= 0;
endcase
end
//當節拍到4的時候寫入結果暫存器。
assign res = (clk_cnt == 3'b100) ? A : 0;
endmodule
這是一個八位Booth二位乘演算法的乘法器，至於Booth一位和Booth四位的乘法器，大家各自嘗試就好。
此外在這個檔案當中，我用到了clk_cnt這個暫存器，大家是不是以為我會多用一個模組用來產生clk_cnt的波形？
身為一個懶人，我直接在測試檔案裡寫了吼吼吼~
綜合電路
37個元件，36個IO口，318根線
測試檔案
`timescale 1ns / 1ps
module mul_tb(
);
reg [7:0] mul1,mul2;
wire [15:0] res;
reg clk;
wire clk_en;
reg [2:0] clk_cnt;
initial begin
mul1 <= -8'd7;
mul2 <= -8'd3;
clk <= 0;
clk_cnt <= 3'b0;
end
always # 10 clk = ~clk;
//clk_cnt發生器，懶人版
always @(posedge clk) begin
clk_cnt <= clk_cnt + 1'b1;
if (clk_cnt == 3'b100)
clk_cnt <= 3'b00;
end
//每次運算結束後，讓乘數變化，以便產生不同的資料用以觀察
assign clk_en = (clk_cnt == 3'b100) ? 1'b1 : 1'b0;
always @ (posedge clk_en) begin
mul2 <= mul2 + 1'b1;
end
mul_booth_signed try(.mul1(mul1),.mul2(mul2),.res(res),.clk(clk),.clk_cnt(clk_cnt));
endmodule
模擬波形
將其改成有符號十進位制數形式顯示，可以驗證電路設計正確。