複數與複數運算 | matlab視覺化

matlab2018a

01 複數

MATLAB中，複數單位通常用 1i來表示，例如z = 1 + 1i。這裡需要說明的是，i也可以用來表示複數單位，但是由於i通常用作迴圈的變數，所以MATLAB建議定義複數時使用1i。
除了實部虛部的直接定義複數的方法，還可以使用指數式定義複數，例如，z = exp(a + 1i*b)

基本的函式：
real(z)、image(z)：分別求虛數的實部和虛部。
abs(z)、angle(z)：複數模長與幅角
conj(z)：共軛複數
exp(z)、log(z)：以e為底的指數和對數

02 複數的視覺化函式

z = A*cplxgrid(m)
呼叫cplxgrid函式，生成以A為半徑，半徑方向上的網格數為m，幅角上的網數為2m+1的圓形複數域。
cplxmap(z,f)
以z為座標點，f為函式值作出影像。

案例1：畫出$z,z^3,z^{1/2},z^{1/3}$的影像

z = 2*cplxgrid(10);
format rat
index = [1,3,1/2,1/3];
for i = 1:4
%將4張圖畫在一起
subplot(2,2,i)
cplxmap(z,z.^index(i));  %進行點對點運算
title(['f(z) = z\^',num2str(index(i)) ])
end

上圖中，座標系的z軸表示的是f(z)的實部，顏色表示的f(z)的虛部。

案例2：$\frac{1}{1-z}$的影像

%方案一：直接利用cplxmap進行視覺化
z = 2*cplxgrid(10);
z(find(z == 1)) = NaN;	%去除奇點
cplxmap(z,1./(1-z))
title('f(z) = z^{-1}')

該影像還可以利用洛朗級數展開來進行計算
$$\begin{gathered} 當|z|<1，進行泰勒展開， \\ \frac{1}{1-z}=\sum _{k=0}^{\infty }{z}^k \\ 當|z|>1，進行洛朗展開， \\ \frac{1}{1-z}=-\frac{1}{z}\frac{1}{1-1/z}=-\frac{1}{z}\sum _{k=0}^{\infty }{z}^{-k} \end{gathered}$$

%方法二：利用洛朗級數展開
z = 2*cplxgrid(10);
z1 = z;
z1(find(abs(z1) >= 1)) = NaN;	%確定泰勒展開的區域
w1 = 1; u1 = 1;
for i = 1:100
u1 = u1.*z1;
w1 = w1 + u1;
end
subplot(1,2,1)
cplxmap(z1,w1)
title('泰勒展開')
z2 = z;
z2(find(abs(z2) <= 1)) = NaN;	%確定泰勒展開的區域
w2 = -1./z2; u2 = w2;
for i = 1:100
u2 = w2./z2;
w2 = w2 + u2;
end
subplot(1,2,2)
cplxmap(z2,w2)
title('洛朗展開')

案例3：$\ln (z)$對數函式
為了更好地展現$\ln (z)$為多值函式，採用兩種的不同的方式畫圖，先以z軸作為實部，顏色作為虛部，幅角取值範圍為$[0,6\pi ]$；在以z軸作為虛部，實部作為顏色，再畫圖。

%以實部作為z軸
z = cplxgrid(20);
z(find(abs(z) == 0)) = NaN;
w = log(z);
subplot(1,2,1)
surf(real(z),imag(z),real(w),imag(w))
for k = 1:3
w = w + 1i*2*pi;
subplot(1,2,2)
surf(real(z),imag(z),imag(w),real(w));
hold on	%將[0 6*pi]分3個週期畫在圖中
end

其他的一些函式都可以使用類似方法的畫出，大家可以自行嘗試一下sin(z),cos(z),sinh(z),cosh(z)等等。