多焦點菲涅爾透鏡
多焦點菲涅爾透鏡
一、設計原理
1、邊光原理
邊光原理是非成像光學中的一個基礎原理，其內容可以表述為：來自光源邊緣的光線經過若干有序正則光學曲面後依然落在投射光斑的邊緣，而來自光源內部的光線也將落在光斑內部。這裡的邊緣包含兩層含義：①二維曲面邊緣；②光束立體角邊緣。對於需要考察光斑內部分佈的照明配光器件而言，利用邊光原理可以生成一個基礎方案，也為設計帶來方便。
其核心思想就是 “邊緣對邊緣” ，可以作如下具體的表述：
若一個具有一定光展的光源發出的光線經過一個或幾個序列化的單調正則光學表面的光學作用後投向目標面形成光斑，則整個光學過程具有以下兩個性質：一是光源的邊光成為光斑的邊光；二是光源的內光對映為光斑的內光，並保持光線的拓撲結構不變。
如圖3.37所示，唯有\(C_i\)不是邊光，而是內部光線，簡稱內光。
2、透鏡焦距公式
透鏡由兩個球面組成，根據組合光學系統的轉面公式，可以推得該組合光學系統的等效焦距。當透鏡兩側均為空氣時，有：
將透鏡視為薄透鏡時，透鏡厚度\(d\)可以忽略，透鏡焦距可以表示為：
式中\(\rho_1, \rho_2\)分別為兩個表面的曲率半徑的倒數。故曲率半徑與焦距的關係式可以表示為：
3、菲涅爾透鏡原理
法國物理學家兼工程師 Fresnel 根據透鏡的成像特點，即透鏡在成像時對光線偏折起決定作用的是其表面的曲率，而透鏡本身的厚度對成像貢獻較少，之所以一般的凸透鏡厚度較大，是為了滿足其表面曲率或大孔徑的要求，因此他提出在設計透鏡時，可以減少其軸向厚度，但表面曲率保持不變。下圖是菲涅爾透鏡形成的原理。按該方法設計而成的透鏡不僅保持了匯聚光線這一能力，同時還節省了材料，使得透鏡整體結構得到簡化。
在實際加工及應用時，透鏡厚度的減少，使得透鏡曲面位置靠前，致使出射光線的出射點也相應提前，因而光線透過透鏡發生匯聚時的焦點位置比同一曲率普通透鏡的焦點位置要靠前，即焦距變短了，如下圖所示。為了使菲涅爾透鏡的焦距不發生變化，在實際設計時必須對每一環的曲率重新進行調整。
菲涅爾透鏡表面圓弧的座標可以透過如下引數方程求得：
4、多焦點菲涅爾透鏡
當每個環帶的焦距不同時，光經過不同環帶所匯聚的焦點不同，故可以控制不同環帶的光在落在接收面特定位置。如下圖所示：
透過設計每個環帶不同的焦點，可以分配目標面上光強的分配。
二、設計目標
- 設計一個焦距分別為\(f = i \cdot 200 mm, i = 1, 2, \dots, 5\), 折射率\(n = 1.5\), 透鏡半徑\(r = 20 mm\)的菲涅爾透鏡。
三、設計方法
平行光從菲涅爾透鏡平面一側垂直入射。將透鏡的中心記為第0環，緊靠其外的記為第1環，從內到外以此類推。透鏡中心一環的半徑用\(h_0\)表示，第\(i\)個環帶中點到透鏡中心的距離記為\(h_i\)。光線經過透鏡後匯聚到焦點如下圖所示。
平行光線從第\(i\)環的中點\(M\)入射，由於光線是垂直入射，故在\(M\)點不發生偏折，當光線穿過透鏡到達\(N\)點時，光線與出射介面不垂直，此時發生了偏折。其中\(\theta_i\)為第\(i\)個環帶面的傾角，\(\phi_i\)為該光線匯聚到焦點處時與光軸的夾角，\(\phi_i\)同時也是光線的偏折角。如下圖所示，將\(N\)點處的光線折射情況進行了放大。在\(N\)點處，光線由透鏡第\(i\)個環帶面傳至空氣中時，其中入射角為\(i_1\),出射角為\(i_2\),光線的偏折角為\(\Phi_i\)。
由角度的幾何關係及折射定律可得：
將上述四個式子聯立，可以推出第\(i\)個環帶面的傾斜角\(\theta\),即表示為：
四、設計步驟
1、設計引數
透鏡材料選用PMMA材料，其折射率接近1.5，為1.4935。
2、編寫matlab程式，計算光學母線
main.m
%% 初始化
clear
clc
%% 引數設定
r = 20; % 透鏡半徑
f = 200 .* [5; 4; 3; 2; 1]; % 確定焦距
N = length(f); % 確定透鏡環數
n = 1.4935; % 透鏡材料折射率，材料PMMA
num = 100; % 每環內點的總數
%% 計算光學母線
y = split_section(r, f, N, n, num);
y(:, 2) = y(:, 2) + 1; % 將母線上移
plot(y(:, 1), y(:, 2));
y = [y, zeros(N * num, 1)]; % 補上z軸
axis equal;
grid on;
% 母線分段儲存
for i = 1 : num : length(y(:, 1))
name = ['多焦點菲涅爾透鏡母線', num2str(fix(i / num)), '.txt'];
temp = y(i : i + num - 1, :, :);
save(name, 'temp', '-ascii');
end
split_section.m
function site = split_section(r, f, N, n, num)
% 計算菲涅爾環帶座標
R = f .* (n - 1); % 計算曲率半徑
% 計算圓心座標
ce_site = zeros(2, N);
ce_site(2, :) = -sqrt(R .^ 2 - r ^ 2) .* (abs(R) ./ R); % y軸值
site = zeros(2, N * num); % 為座標分配記憶體
for i = 1 : N
theta1 = asin(r * sqrt((i - 1) / N) / R(i));
theta2 = asin(r * sqrt(i / N) / R(i));
if (theta1 >= 0)
t = ce_site(2, i) + R(i) .* cos(theta2);
else
t = ce_site(2, i) + R(i) .* cos(theta1);
end
range_t = linspace(theta1, theta2, num);
site(1, 1 + (i - 1) * num : i * num) = ce_site(1, i) + R(i) * sin(range_t); % 計算x軸座標
site(2, 1 + (i - 1) * num : i * num) = ce_site(2, i) + R(i) * cos(range_t) - t; % 計算y軸座標
end
site = site';
end
計算得到光學母線：
3、將計算好的光學母線資料匯入SolidWorks，建立菲涅爾透鏡模型
4、在SolidWorks中儲存零件為.sat(R20)格式，並匯入TracePro中
將透鏡材料設定為PMMA。
對LED的發光面設定10000000條光線並進行光線追跡，得到接收面的輻照度分析圖。呈現環帶狀分佈。
從輻照度分析圖可以看出，該菲涅爾透鏡對平行光的光效為\(92.32 \%\)左右。
五、誤差分析
透過對菲涅爾透鏡不同環帶設定不同的焦點來達到對接收面光斑光強的分配，但透過不同焦點的設定來進行光強分配並不能使目標面光斑大小達到合適的均勻度。
六、總結
整體而言，本次設計成功實現了多交點菲涅爾透鏡的設計，多交點菲涅爾透鏡對於平行光匯聚的光效表現良好。透過對邊光原理、透鏡焦距公式以及菲涅爾透鏡生成原理的深入分析，對菲涅爾透鏡的設計有了一定的理論基礎。建立模型後，透過matlab計算光學母線，solidworks建立菲涅爾透鏡模型以及tracepro進行光學模擬，展示了設計從理論到實踐的轉化過程。此外，設計結果展示的偏差也為後續的最佳化提供一定的參考。
七、參考
- 張航, 嚴金華. 非成像光學設計[M]. 北京: 科學出版社, 2016.
- 多焦點菲涅爾透鏡