CF685C Optimal Point

CF685C

在一個三維空間中有若干個點。

你要找到一個整點使得它與若干個整點的曼哈頓距離最大值最小。

$n\le 10^5$

$坐標\le 10^{18}$

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簡單題+調半天

首先可以類比二維平面的曼哈頓距離和切比雪夫距離的轉化：$(x,y)$到原點的曼哈頓距離為$|x|+|y|$，切比雪夫距離為$max(|x|,|y|)$。那麼$(x,y)$到原點的曼哈頓距離相當於$(x+y,x-y)$到原點的切比雪夫距離。具體的推法考慮$|x|=max(x,-x)$，分類討論將四種情況寫出來求最大值，發現可以用切比雪夫距離來表示。

但放到三維，曼哈頓距離為$|x|+|y|+|z|$。這個東西實際上不能轉化成切比雪夫距離。但這個套路還可以利用：根據每一維的正負號分成八類，然後這個點可以從三維空間對映到一個四維空間。

形象地說，原點一定距離以內的點形成一個八面體。然後每個平面形如$x+y+z=d$或$x+y-z=d$這種形式。

顯然這題要二分答案，二分答案之後求這些八面體的交集。

將它對映到的四維空間求個交集，於是就得到了$x+y+z,x+y-z,x-y+z,x-y-z$的範圍。

然而求出交集還不一定有解。因為這四個維度並不是互不相干的。

設$a=x+y-z,b=x-y+z,c=x-y-z$，那麼有$x+y+z=a+b-c$，$x=\frac{a+b}{2},y=\frac{a-c}{2},z=\frac{b-c}{2}$

問題變成了：找到$a,b,c$滿足$a\equiv b\equiv c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$，$a+b-c,a,b,c$在各自的範圍內。

前面這個同餘的性質好做，列舉餘數$r$，然後將$a$對映到$\frac{a-r}{2}$，相應的區間也改一下。

後面的重點是要讓$a+b-c$在範圍內。先讓$a,b,c$取到最小值，如果不滿足$a+b-c$的限制，那麼把$a$調大，不行就再把$b$調大，還不行就再把$c$調小。由於通過這種方式我們得到的$a+b-c$的值是連續的，所以如果找不到一定無解。

細節有點多。。。（還有吐槽一下座標開到$10^{18}$，二分範圍$6\ast 10^{18}$，直接打mid=l+r>>1會掛的。。。解決的話可以開ull或者寫mid=l+(r-l>>1)）

以下的程式碼有非常多得到除錯語句，所以顯得特別長。。。

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using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cassert>
#include <climits>
#define N 100010
#define ll long long
#define ull unsigned long long
int n;
struct DOT{long long x[3];} d[N],ans;
bool in(ll x,ll l,ll r){return l<=x && x<=r;}
ll m[8],m_[8];
void calc(ll a,ll b,ll c,ll r){
	a=2*a+r,b=2*b+r,c=2*c+r;
	assert(m[0]<=a+b-c && a+b-c<=m[4]);
	ans.x[0]=a+b>>1;
	ans.x[1]=a-c>>1;	
	ans.x[2]=b-c>>1;
	assert(in(a,m[1],m[5]));
	assert(in(b,m[2],m[6]));
	assert(in(c,m[3],m[7]));
}
bool judge(ll l){
	for (int i=0;i<4;++i)
		m[i]=LLONG_MIN,m[i+4]=LLONG_MAX;
	for (int i=1;i<=n;++i){
		for (int j=0;j<4;++j){
			ll t=d[i].x[0];
			for (int k=1;k<3;++k)
				t+=d[i].x[k]*(j>>2-k&1?-1:1);
			m[j]=max(m[j],t-l);
			m[j+4]=min(m[j+4],t+l);
		}
	}
	for (int i=0;i<4;++i)
		if (m[i]>m[i+4])
			return 0;
//	for (int i=0;i<4;++i)
//		cout<<(long double)m[i]<<" "<<(long double)m[i+4]<<endl;
//		printf("%.0lf %.0lf\n",(double)m[i],(double)m[i+4]);
	for (int r=0;r<=1;++r){
		bool cant=0;
		for (int i=0;i<4;++i){
			m_[i]=(m[i]-r)+1>>1;
			m_[i+4]=(m[i+4]-r)>>1;
			if (m_[i]>m_[i+4])
				cant=1;
		}
		if (cant) continue;
//		for (int i=0;i<4;++i)
//			cout<<(long double)m[i]<<" "<<(long double)m[i+4]<<endl;
//			printf("%.0lf %.0lf\n",(double)m_[i],(double)m_[i+4]);
		ll a=m_[1],b=m_[2],c=m_[7];
//		printf("%.0lf\n",(double)a+b-c);
		if (in(a+b-c,m_[0],m_[4])){
			calc(a,b,c,r);
			return 1;
		}
		ll t=m_[0]-(a+b-c);
//		printf("%.0lf %.0lf\n",(double)a+b-c+t,(double)a+t);
		if (in(a+t,m_[1],m_[5])){
			calc(a+t,b,c,r);
			return 1;
		}
		else
			t-=m_[5]-a,a=m_[5];
//		printf("%.0lf %.0lf\n",(double)a+b-c+t,(double)b+t);
		if (in(b+t,m_[2],m_[6])){
			calc(a,b+t,c,r);
			return 1;
		}
		else
			t-=m_[6]-b,b=m_[6];
//		printf("%.0lf %.0lf\n\n",(double)a+b-c+t,(double)c-t);
		if (in(c-t,m_[3],m_[7])){
			calc(a,b,c-t,r);
			return 1;
		}
//		a=m_[5],b=m_[6],c=m_[3];
//		if (in(a+b-c,m_[0],m_[4])){
//			calc(a,b,c,r);
//			return 1;
//		}
//		t=(a+b-c)-m_[4];
//		if (in(a-t,m_[1],m_[5])){
//			calc(a-t,b,c,r);
//			return 1;
//		}
//		if (in(b-t,m_[2],m_[6])){
//			calc(a,b-t,c,r);
//			return 1;
//		}
//		if (in(c+t,m_[3],m_[7])){
//			calc(a,b,c+t,r);
//			return 1;
//		}
	}
	return 0;
}
int main(){
	freopen("in.txt","r",stdin);
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while (T--){
		scanf("%d",&n);
		for (int i=1;i<=n;++i)
			scanf("%lld%lld%lld",&d[i].x[0],&d[i].x[1],&d[i].x[2]);
//		printf("%.0lf\n",(double)tmp);
		ll l=0,r=6000000000000000000,res=-1;
//		printf("%d\n",judge(r));
		while (l<=r){
			ll mid=(ull)l+(ull)r>>1;
			if (judge(mid))
				r=(res=mid)-1;
			else
				l=mid+1;
		}
//		printf("%lld\n",(long long)res);
		judge(res);
		ll tmp=0;
		for (int i=1;i<=n;++i)
			tmp=max(tmp,abs(ans.x[0]-d[i].x[0])+abs(ans.x[1]-d[i].x[1])+abs(ans.x[2]-d[i].x[2]));
//		printf("%lld\n",tmp);
		printf("%lld %lld %lld\n",ans.x[0],ans.x[1],ans.x[2]);
	}
	return 0;
}