人臉識別損失函式疏理與分析

lee發表於2020-08-04
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寫在前面

Closed-set 和 Open-set 人臉識別的對比如下，

Comparison-of-open-set-and-closed-set-face-recognition.png

兩張人臉影像，分別提取特徵，通過計算特徵向量間的距離（相似度）來判斷它們是否來自同一個人。選擇與問題背景相契合的度量方式很重要，人臉識別中一般有兩種，歐氏距離和餘弦距離（角度距離）。

訓練階段和測試階段採用的度量方式要一致，如果想在測試階段使用歐氏距離，自然在訓練階段就要基於歐氏距離來構造損失進行優化。

實際上，不同度量方式間存在著一定的內在聯絡，

  • 歐氏距離與向量的模和角度都有關，模固定，角度越大歐氏距離也越大，角度固定，模同比增大歐式距離也增大，模分別增大情況會比較複雜；
  • 餘弦距離和角度距離有單調關係（負相關），但兩者分佈的“密度”不同，觀察餘弦函式曲線可知，在角度從0向\(\pi\)勻速（線性）前進時，餘弦值在0和\(\pi\)附近緩慢變化，在\(\frac{\pi}{2}\)附近近似線性變化
  • 當向量模長歸一化後，歐氏距離和餘弦距離有單調關係，所以，在預測階段，歸一化後的特徵選取哪種度量進行判別均可

可對不同損失函式按度量方式進行劃分，

  • 歐氏距離：Contrastive Loss，Triplet Loss，Center Loss……
  • 餘弦距離（角度距離）：Large-Margin Softmax Loss，Angular-Softmax Loss，Large Margin Cosine Loss，Additive Angular Margin Loss……

先從最基本的Softmax Loss開始。

Cross-Entropy Loss (softmax loss)

交叉熵損失，也稱為softmax損失，是深度學習中應用最廣泛的損失函式之一。

\[\mathcal{L}_{\mathrm{s}}=-\frac{1}{N_b} \sum_{i=1}^{N_b} \log \frac{e^{W_{y_{i}}^{T} x_{i}+b_{y_{i}}}}{\sum_{j=1}^{n} e^{W_{j}^{T} x_{i}+b_{j}}} \]

其中，

  • \(n\)個類別，\(N_b\)為batch size
  • \(x_{i} \in \mathbb{R}^{d}\)，第\(i\)個樣本的特徵，特徵有\(d\)維，屬於\(y_i\)類
  • \(W \in \mathbb{R}^{d \times n}\)為權重矩陣，\(W_j\)表示\(W\)的第\(j\)列，\(b_{j} \in \mathbb{R}^{n}\)為bias

特徵\(x\)經全連線層的權重矩陣\(W\)得到與類別數相同的\(n\)個\((-\infty, +\infty)\)實數，相對越大的實數代表越像某一個類別，Softmax的作用是將\((-\infty, +\infty)\)的\(n\)個實數通過指數對映到\((0, +\infty)\)，然後歸一化，使和為1，以獲得某種概率解釋。

指數操作會將對映前的小差異指數放大，Softmax Loss希望label對應的項越大越好，但因為指數操作的存在，只需要對映前差異足夠大即可，並不需要使出“全力”。

在人臉識別中，可通過對人臉分類來驅動模型學習人臉的特徵表示。但該損失追求的是類別的可分性，並沒有顯式最優化類間和類內距離，這啟發了其他損失函式的出現。

Contrastive Loss - CVPR2006

Contrastive Loss由LeCun在《Dimensionality Reduction by Learning an Invariant Mapping》CVPR2006中提出，起初是希望降維後的樣本保持原有距離關係，相似的仍相似，不相似的仍不相似，如下所示，

\[\begin{array}{c} L\left(W, Y, \vec{X}_{1}, \vec{X}_{2}\right)= (1-Y) \frac{1}{2}\left(D_{W}\right)^{2}+(Y) \frac{1}{2}\left\{\max \left(0, m-D_{W}\right)\right\}^{2} \end{array} \]

其中，\(\vec{X}_{1}\)和\(\vec{X}_{2}\)為樣本對，\(Y=\{0， 1\}\)指示樣本對是否相似，\(Y=0\)相似，\(Y=1\)不相似，\(D_W\)為樣本對特徵間的歐氏距離，\(W\)為待學習引數。相當於歐氏距離損失+Hinge損失

Graph-of-Contrastive-Loss.png

類內希望距離越小越好，類間希望越大越好（大於margin），這恰與人臉識別特徵學習的目的相一致。Contrastive Loss在DeepID2中得以使用，作為Verification Loss，與Softmax Loss形式的Identification Loss構成聯合損失，如下所示，

\[\operatorname{Ident}\left(f, t, \theta_{i d}\right)=-\sum_{i=1}^{n}-p_{i} \log \hat{p}_{i}=-\log \hat{p}_{t} \\ \operatorname{Verif}\left(f_{i}, f_{j}, y_{i j}, \theta_{v e}\right)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{2}\left\|f_{i}-f_{j}\right\|_{2}^{2} & \text { if } y_{i j}=1 \\ \frac{1}{2} \max \left(0, m-\left\|f_{i}-f_{j}\right\|_{2}\right)^{2} & \text { if } y_{i j}=-1 \end{array}\right. \]

這種Softmax Loss + 其他損失 構成的聯合損失比較常見，通過引入Softmax Loss可以讓訓練更穩定，更容易收斂。

Triplet Loss - CVPR2015

Contrastive Loss的輸入是一對樣本。

Triplet Loss的輸入是3個樣本，1對正樣本（同一個人），1對負樣本（不同人），希望拉近正樣本間的距離，拉開負樣本間的距離。Triplet Loss出自《FaceNet: A Unified Embedding for Face Recognition and Clustering》。

triplet-loss.png

損失函式如下，

\[\mathcal{L}_t = \sum_{i}^{N}\left[\left\|f\left(x_{i}^{a}\right)-f\left(x_{i}^{p}\right)\right\|_{2}^{2}-\left\|f\left(x_{i}^{a}\right)-f\left(x_{i}^{n}\right)\right\|_{2}^{2}+\alpha\right]_{+} \]

該損失希望在拉近正樣本、拉開負樣本的同時，有一個margin，

\[\left\|f\left(x_{i}^{a}\right)-f\left(x_{i}^{p}\right)\right\|_{2}^{2}+\alpha<\left\|f\left(x_{i}^{a}\right)-f\left(x_{i}^{n}\right)\right\|_{2}^{2} \]

Softmax Loss最後的全連線層引數量與人數成正比，在大規模資料集上，對視訊記憶體提出了挑戰。

Contrastive Loss和Triplet Loss的輸入為pair和triplet，方便在大資料集上訓練，但pair和triplet挑選有難度，訓練不穩定難收斂，可與Softmax Loss搭配使用，或構成聯合損失，或一前一後，用Softmax Loss先“熱身”。

Center Loss - ECCV2016

因為人臉表情和角度的變化，同一個人的類內距離甚至可能大於不同人的類間距離。Center Loss的出發點在於，不僅希望類間可分，還希望類內緊湊，前者通過Softmax loss實現，後者通過Center Loss實現，如下所示，為每個類別分配一個可學習的類中心，計算每個樣本到各自類中心的距離，距離之和越小表示類內越緊湊。

\[\mathcal{L}_{c e}=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N}\left\|x_{i}-c_{y_{i}}\right\|_{2}^{2} \]

聯合損失如下，通過超引數\(\lambda\)來平衡兩個損失，並給兩個損失分配不同的學習率，

\[\begin{aligned} L_{c} &=L_{s}+\lambda L_{c e} \\ &=-\sum_{i=1}^{N_{b}} \log \frac{e^{W_{y_{i}}^{T} x_{i}+b_{y_{i}}}}{\sum_{j=1}^{n} e^{W_{j}^{T} x_{i}+b_{j}}}+\frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^{N_b}\left\|x_{i}-c_{y_{i}}\right\|_{2}^{2} \end{aligned} \]

center-loss-algorithm.png

希望達成的效果如下，

center-loss-distribution-of-features.png

以上損失在歐氏距離上優化，下面介紹在餘弦距離上優化的損失函式。

L-Softmax Loss - ICML2016

L-Softmax 即 large-margin softmax，出自《Large-Margin Softmax Loss for Convolutional Neural Networks》。

若忽略bias，FC+softmax+cross entropy可寫成如下形式，

\[L_{i}=-\log \left(\frac{e^{\left\|\boldsymbol{W}_{y_{i}}\right\|\left\|\boldsymbol{x}_{i}\right\| \cos \left(\theta_{y_{i}}\right)}}{\sum_{j} e^{\left\|\boldsymbol{W}_{j}\right\|\left\|\boldsymbol{x}_{i}\right\| \cos \left(\theta_{j}\right)}}\right) \]

可將\(\boldsymbol{W}_{j}\)視為第\(j\)類的類中心向量，對\(x_i\)，希望\(\left\|\boldsymbol{W}_{y_{i}}\right\|\left\|\boldsymbol{x}_{i}\right\| \cos \left(\theta_{y_{i}}\right)\)相比\(\left\|\boldsymbol{W}_{j}\right\|\left\|\boldsymbol{x}_{i}\right\| \cos \left(\theta_{j}\right), j \neq y_i\)越大越好，有兩個影響因素，

  • \(\boldsymbol{W}\)每一列的模
  • \(\boldsymbol{x}_i\)與\(\boldsymbol{W}_j\)的夾角

L-Softmax主要關注在第2個因素 夾角上，相比Softmax，希望\(\boldsymbol{x}_i\)與\(\boldsymbol{W}_{y_i}\)靠得更近，於是對\(\cos \left(\theta_{y_{i}}\right)\)施加了更強的約束，對角度\(\theta_{y_i}\)乘上個因子\(m\)，如果想獲得與Softmax相同的內積值，需要\(\theta_{y_i}\)更小，

\[L_{i}=-\log \left(\frac{e^{\left\|\boldsymbol{W}_{y_{i}}\right\|\left\|\boldsymbol{x}_{i}\right\| \psi\left(\theta_{y_{i}}\right)}}{e^{\left\|\boldsymbol{W}_{y_{i}}\right\|\left\|\boldsymbol{x}_{i}\right\| \psi\left(\theta_{y_{i}}\right)}+\sum_{j \neq y_{i}} e^{\left\|\boldsymbol{W}_{j}\right\|\left\|\boldsymbol{x}_{i}\right\| \cos \left(\theta_{j}\right)}}\right) \]

為此，需要構造\(\psi(\theta)\)，需滿足如下條件

  • \(\psi(\theta) < cos(\theta)\)
  • 單調遞減

文中構造的\(\psi(\theta)\)如下，通過\(m\)調整margin大小

\[\psi(\theta)=(-1)^{k} \cos (m \theta)-2 k, \quad \theta \in\left[\frac{k \pi}{m}, \frac{(k+1) \pi}{m}\right], k \in [0, m-1] \]

當\(m=2\)時，如下所示，

L-Softmax-phi.png

二分類情況下，結合解釋如下，

L-Softmax-Geometric-Interpretation.png

為了梯度計算和反向傳播，將\(\cos(\theta)\)替換為僅包含\(W\)和\(w_i\)的表示式\(\frac{\boldsymbol{W}_{j}^{T} \boldsymbol{x}_{i}}{\left\|\boldsymbol{W}_{j}\right\|\left\|\boldsymbol{x}_{i}\right\|}\)，通過倍角公式計算\(\cos(m \theta)\)，

\[\begin{aligned} \cos \left(m \theta_{y_{i}}\right) &=C_{m}^{0} \cos ^{m}\left(\theta_{y_{i}}\right)-C_{m}^{2} \cos ^{m-2}\left(\theta_{y_{i}}\right)\left(1-\cos ^{2}\left(\theta_{y_{i}}\right)\right) \\ &+C_{m}^{4} \cos ^{m-4}\left(\theta_{y_{i}}\right)\left(1-\cos ^{2}\left(\theta_{y_{i}}\right)\right)^{2}+\cdots \\ &(-1)^{n} C_{m}^{2 n} \cos ^{m-2 n}\left(\theta_{y_{i}}\right)\left(1-\cos ^{2}\left(\theta_{y_{i}}\right)\right)^{n}+\cdots \end{aligned} \]

同時，為了便於訓練，定義超引數\(\lambda\)，將\(\left\|\boldsymbol{W}_{y_{i}}\right\|\left\|\boldsymbol{x}_{i}\right\| \psi\left(\theta_{y_{i}}\right)\)替換為\(f_{y_i}\)，

\[f_{y_{i}}=\frac{\lambda\left\|\boldsymbol{W}_{y_{i}}\right\|\left\|\boldsymbol{x}_{i}\right\| \cos \left(\theta_{y_{i}}\right)+\left\|\boldsymbol{W}_{y_{i}}\right\|\left\|\boldsymbol{x}_{i}\right\| \psi\left(\theta_{y_{i}}\right)}{1+\lambda} \]

訓練時，從較大的\(\lambda\)開始，然後逐漸減小，近似於用Softmax“熱身”。

A-Softmax Loss - CVPR2017

A-Softmax即Angular-Softmax，出自《SphereFace: Deep Hypersphere Embedding for Face Recognition》。

L-Softmax中，在對\(x_i\)歸類時，會同時考慮類中心向量的模和夾角。

A-Softmax的最大差異在於對每個類中心向量進行歸一化，即令\(||W_j|| = 1\)，同時令bias為0，在分類時只考慮\(x_i\)和\(W_j\)的夾角，並引入和L-Softmax相同的margin，如下所示，

\[\mathcal{L}_{\mathrm{AS}}=-\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \log \left(\frac{e^{\left\|\boldsymbol{x}_{i}\right\| \psi\left(\theta_{y_{i}, i}\right)}}{e^{\left\|\boldsymbol{x}_{i}\right\| \psi\left(\theta_{y_{i}, i}\right)}+\sum_{j \neq y_{i}} e^{\left\|\boldsymbol{x}_{i}\right\| \cos \left(\theta_{j, i}\right)}}\right) \\ \psi(\theta_{y_i, i})=(-1)^{k} \cos (m \theta_{y_i, i})-2 k, \quad \theta_{y_i, i} \in\left[\frac{k \pi}{m}, \frac{(k+1) \pi}{m}\right], k \in [0, m-1] \]

當\(m=1\)時，即不引入margin時，稱之為 modified softmax loss。

Softmax Loss、Modified Softmax Loss和A-Softmax Loss，三者的決策面如下，

A-Softmax-decision-boundaries.png

視覺化如下，

A-Softmax-Geometry-Interpretation.png

AM-Softmax Loss-CVPR2018

AM-Softmax即Additive Margin Softmax，出自論文《Additive Margin Softmax for Face Verification》，同CosFace 《CosFace: Large Margin Cosine Loss for Deep Face Recognition》，CosFace中損失名為LMCL（Large Margin Cosine Loss）。

與A-Softmax相比，有2點變化，

  • 對\(x_i\)也做歸一化，同時保留對\(W\)每一列的歸一化以及bias為0
  • 將\(\cos(m \theta)\)變成\(s \cdot (\cos \theta - m)\)

\[\mathcal{L}_{\mathrm{AM}}=-\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \log \frac{e^{s \cdot\left(\cos \theta_{y_{i}}-m\right)}}{e^{s \cdot\left(\cos \theta_{y_{i}}-m\right)}+\sum_{j=1, j \neq y_{i}}^{c} e^{s \cdot \cos \theta_{j}}} \]

相比Softmax，希望獲得更大的類間距離和更小類內距離，如果採用的是餘弦距離，意味著，要想獲得與Softmax相同的\(y_i\)對應的分量，需要更小的夾角\(\theta\)，為此需要構建\(\psi(\theta)\)，如前所述，需要

  • \(\psi(\theta) < cos(\theta)\)
  • 單調遞減

前面構建的\(\psi(\theta)\)，始於\(\cos(m \theta)\)，\(m\)與\(\theta\)是乘的關係，這裡令\(\varphi(\theta)= s(\cos (\theta)-m)\)，

  • \(\cos(\theta) - m\)：\(m\)變乘法為加法，\(\cos(m\theta)\)將margin作用在角度上，\(\cos(\theta) - m\)直接作用在餘弦距離上，前者的問題在於對類中心向量夾角較小的情況懲罰較小，夾角小則margin會相對更小，同時計算複雜，後者可以看成是Hard Margin Softmax，希望在保證類間“硬”間距的情況下學習特徵對映。

    Additive-Margin.png

  • \(s\)：將\(x_i\)也歸一化後，相當於將特徵嵌入到單位超球上，表徵空間有限，特徵和權重歸一化後\(\mid \boldsymbol{W}_{j}\|\| \boldsymbol{x}_{i} \| \cos \left(\theta_{ij}\right)=cos(\theta_{ij})\)的值域為\([-1, 1]\)，即\(x_i\)到每個類中心向量的餘弦距離，最大為1，最小為-1，Softmax 指數歸一化前，各類的分量差異過小，所以要乘個因子\(s\)，將特徵對映到半徑為\(s\)的超球上，放大表徵空間，拉開各分量的差距。

AM-Softmax-visualization.png

ArcFace Loss - CVPR2019

ArcFace Loss 即 Additive Angular Margin Loss，出自《ArcFace: Additive Angular Margin Loss for Deep Face Recognition》。

AM-Softmax Loss將margin作用在餘弦距離上，與之不同的是，ArcFace將margin作用在角度上，其損失函式如下，

\[\mathcal{L}_{\mathrm{AF}}=-\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \log \frac{e^{s \cdot\left(\cos \left(\theta_{y_{i}}+m\right)\right)}}{e^{s \cdot\left(\cos \left(\theta_{y_{i}}+m\right)\right)}+\sum_{j=1, j \neq y_{i}}^{n} e^{s \cdot \cos \theta_{j}}} \]

ArcFace.png

把margin是加在餘弦距離（CosFace）還是加在角度（ArcFace）上，在《Additive Margin Softmax for Face Verification》中有這樣一段分析，

Angular-Margin-or-Cosine-Margin.png

ArcFace中並沒有求取arccos，所以計算並不複雜，而是把margin加在了角度上，但優化的仍是餘弦距離。

還有一點需要注意的是，無論margin是加在餘弦距離上還是加在角度上，單純看示意圖，很容易看出減少了類內距離，那類間距離增加呢？

文中，給出了類內距離和類間距離的數學描述，如下：

\[L_{Intra}=\frac{1}{\pi N} \sum_{i=1}^{N} \theta_{y_{i}} \\ L_{Inter}=-\frac{1}{\pi N(n-1)} \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1, j \neq y_{i}}^{n} \arccos \left(W_{y_{i}}^{T} W_{j}\right) \]

\(W\)是待學習的引數，特徵\(x_i\)也是通過前面層的權重學習得到，在訓練過程中\(x_i\)和\(W\)都會發生變化，都會被梯度驅使著向Loss減小的方向移動。margin的引入有意壓低了類標籤對應分量的值，去儘量“壓榨”模型的潛力，在softmax中原本可以收斂的位置還需要繼續下降，下降可以通過提高類標籤對應分量的值，也可以通過降低其他分量的值。所以，\(x_i\)在向\(W_{y_i}\)靠近的同時，\(W_j, j\neq y_i\)也可能在向遠離\(x_i\)的方向移動，最終達成的效果就可能是\(x_i\)儘可能地靠近\(W_{y_i}\)，而\(W_j, j\neq y_i\)原理了\(W_{y_i}\)。

歐氏距離or角度距離與歸一化

這裡，再討論下為什麼對\(W\)和\(x\)的模進行歸一化，主觀思考偏多，未經驗證。

在文章為什麼要做特徵歸一化/標準化？中，我們提到，

歸一化/標準化的目的是為了獲得某種“無關性”——偏置無關、尺度無關、長度無關……當歸一化/標準化方法背後的物理意義和幾何含義與當前問題的需要相契合時，其對解決該問題就有正向作用，反之，就會起反作用。

特徵\(x\)與\(W\)每個類中心向量內積的結果，取決於\(x\)的模、\(W_j\)的模以及它們的夾角，模的大小和夾角的大小都將影響內積結果的大小。

  • 對\(W_j\)歸一化：如果訓練集存在較嚴重的類別不均衡，網路將傾向於把輸入影像劃分到圖片數量多的類別，這種傾向將反映在類中心向量的模上，即圖片數量多的類別其類中心向量的模將偏大，這一點論文One-shot Face Recognition by Promoting Underrepresented Classes中有實驗驗證。所以，對\(W_j\)的模歸一化相當於強迫網路同等看待每一個類別，相當於把同等看待每一個人的先驗做進網路，來緩解類別不均衡問題。

  • 對\(x\)歸一化：對某一個具體的\(x_i\)，其與每個類中心的內積 為 \(x_i \cdot W_j = |x_i||W_j|\cos \theta_{ij} = |x_i|\cos \theta_{ij}\)，因為每個類別的內積結果都含\(x_i\)的模，\(x_i\)的模是否歸一化似乎並不影響內積結果間的大小關係，但會影響損失的大小，比如內積結果分別為\([4,1,1,1]\)，模同時放大1倍，變成\([8,2,2,2]\)，經過Softmax的指數歸一化後，後者的損失更小。在卷積神經網路之卷積計算、作用與思想中，我們知道模式蘊含在卷積核的權重當中，特徵代表著與某種模式的相似程度，越相似響應越大。什麼樣的輸入影像容易得到模小的特徵，首先是數值尺度較小的輸入影像，這點可以通過對輸入影像做歸一化解決（如果輸入影像的歸一化不夠，對特徵進行歸一化可能可以緩解這個問題），然後是那些模糊的、大角度的、有遮擋的人臉影像其特徵的模會較小，這些圖在訓練集中相當於困難樣本，如果他們的數量不多，就可能會被簡單樣本淹沒掉。從這個角度看，對\(x\)進行歸一化，可能可以讓網路相對更關注到這些困難樣本，去找到更細節的特徵，專注在角度上進行判別，進一步壓榨網路的潛能。有點Focal Loss思想的感覺。

網路會利用它可能利用上的一切手段來降低損失，有些手段可能並不是你所期望的，此時，通過融入先驗、新增正則等方式抑制那些你不希望網路採取的手段，修正網路進化的方式，以此讓網路朝著你期望的方向成長。

以上。

參考

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