描述
一個無向連通圖，每個點 \(u\) 有點權 \(w_u\)，處在 \(u\) 點時可以花費 \(w_u\) 的時間去任何一個距離 \(u\) 最短路徑邊數不超過 \(f_u\) 的點。
現在，從 \(1\) 號點出發，對於每個 \(1\le k\le n\)，求出 \(1\) 到 \(k\) 需要的最小時間。
- \(n\leq 200000\)
- \(m\leq n+50\)
解決方案
首先解決，對於 \(n\) 個點 \(m\) 條邊且只有點權的圖，怎麼 \(O(n\log n+m)\) 求單源最短路。
考慮 Dijkstra 的時候，以 \(dis_i+w_i\) 為關鍵字建立小根堆，其中 \(dis_i\) 是起點到 \(i\) 的最短路，每次取出堆頂節點 \(u\)，掃描出邊 \((u,v)\)，如果 \(dis_v\) 還沒有被求出來，就直接用 \(dis_u+w_u\) 更新 \(dis_v\)。
這樣做的好處是每個點只會被入堆一次。
回到本題，距 \(u\) 距離不超過 \(f_u\) 的點數是 \(O(n)\) 的，所以跑最短路的總邊數是 \(O(n^2)\) 的，直接用上面的演算法不可接受。
由於每個點只要入堆一次，所以對於當前堆頂節點 \(u\)，找出所有還未求出 \(dis\) 的距其不超過 \(f_u\) 的點 \(v\) 更新就可以保證更新的次數為 \(O(n)\) 次。
考慮輸入的圖是一棵樹怎麼做。
對於每個點，記錄點分樹上子其樹內的點到它在原樹上的距離。查詢一個點 \(u\) 的出邊時，在點分樹上找到 \(u\) 自己和它的所有祖先構成的集合 \(S\)，對於 \(x\in S\)，找到 \(x\) 的點分樹子樹內和 \(x\) 在原樹距離不超過 \(f_u-dis(u,x)\) 的未刪除的點即可。
可以點分治的時候 BFS 求出按到 \(x\) 距離從小到大的序列，維護指標，每次詢問向後找即可。
指標總的偏移量不超過 \(O(n\log n)\)，集合 \(S\) 的大小不超過 \(\log n\)。
這樣對樹就有了 \(O(n\log n)\) 的做法了。
考慮加入一些非樹邊如何做。
如果非樹邊 \((x,y)\) 會對 \((u,v)\) 間的最短距離產生影響，那麼 \((u,v)\) 間的最短路徑一定經過 \(x\) 和 \(y\)。
所以對於每條非樹邊，取出 \(x\) ，總共 \(m-n+1\) 個這樣的點，以它為起點 BFS，類似地指標維護即可。
總的時間複雜度 \(O(n\log n+n(m-n))\)。
參考程式碼
Submission #265206778 - Codeforces