BZOJ4299: Codechef FRBSUM(主席樹)

自為風月馬前卒發表於2018-09-12

題意

題目連結

數集S的ForbiddenSum定義為無法用S的某個子集（可以為空）的和表示的最小的非負整數。
例如，S={1,1,3,7}，則它的子集和中包含0(S’=∅)，1(S’={1})，2(S’={1,1})，3(S’={3})，4(S’={1,3})，5(S` = {1, 1, 3})，但是它無法得到6。因此S的ForbiddenSum為6。
給定一個序列A，你的任務是回答該數列的一些子區間所形成的數集的ForbiddenSum是多少。

Sol

若序列已經被從小到大排序

考慮當前位置為$i$，且$[1, s_i]$內的數都可以被拼成

那麼若$a[i + 1] > s_i + 1$，那麼$a[i + 1]$不能被拼成

於是我們可以這樣去做

首先在集合內找比$s = 1$小的數的和(也就相當於上面的字首和)，若比$1$少，則答案為$1$

若詢問得到的結果是$1$，則$s = 1 + 1 = 2$，此時我們去找比$2$小的和

若$< 2$，則答案為$2$，不斷做下去，直到不符合條件為止。

不符合條件，實際上也就是$a[i + 1] > s_i + 1$

 

每次在一段區間內詢問小於等於某一個數的和，可以用主席樹維護，

 

時間複雜度：若一直是符合條件的，我們每次詢問會至少讓si翻一倍，因此單次詢問的複雜度為log sn，

加上主席樹的複雜度，總複雜度為$O(Q logn log sn)$

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int MAXN = 3 * 1e6 + 10;
inline int read() {
    char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
    while(c < `0` || c > `9`) {if(c == `-`) f = -1; c = getchar();}
    while(c >= `0` && c <= `9`) x = x * 10 + c - `0`, c = getchar(); 
    return x * f;
}
int N, a[MAXN], lim;
int ls[MAXN], rs[MAXN], sum[MAXN], tot, root[MAXN];
void insert(int &k, int p, int l, int r, int pos) {
    k = ++ tot;
    ls[k] = ls[p]; rs[k] = rs[p]; sum[k] = sum[p] + pos;
    if(l == r) return ;
    int mid = l + r >> 1;
    if(pos <= mid) insert(ls[k], ls[p], l, mid, pos);
    else insert(rs[k], rs[p], mid + 1, r, pos);
}
int Query(int k, int p, int l, int r, int val) {
    if(l > val) return 0;
    if(r <= val) return sum[k] - sum[p];
    int mid = l + r >> 1;
    int suml = sum[ls[k]] - sum[ls[p]];
    if(val > mid) return suml + Query(rs[k], rs[p], mid + 1, r, val);
    else return Query(ls[k], ls[p], l, mid, val);
}
int solve(int l, int r) {
    int nxt = 0;
    for(int i = 1; ; i = nxt + 1) {
        nxt = Query(root[r], root[l - 1], 1, lim, i);//詢問區間內<=i的數的和
        if(nxt < i) return i;
    }
}
int main() {
    N = read();
    for(int i = 1; i <= N; i++) a[i] = read(), lim = max(a[i], lim);
    for(int i = 1; i <= N; i++) insert(root[i], root[i - 1], 1, lim, a[i]);
    int Q = read();
    while(Q--) {
        int l = read(), r = read();
        printf("%d
", solve(l, r));
    }
    return 0;
}

 

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