邱奇數的C++實現

什麼是邱奇數？

邱奇數是通過函式來表示自然數的方法。直觀上講，邱奇數可以類比於下圖（圖一）裡表示數字的方法。假設我們有一個球，我們可以把這個球放到一個箱子裡，然後可以把這個裝著球的箱子再放到另一個箱子裡，依次類推。當然你也可以用俄羅斯套娃來想象這個過程。當只有球的時候，我們說這種情況代表0；當有一個箱子的時候代表1。這樣我們就可以用巢狀的箱子的個數來代表自然數了。

邱奇數的構建過程是很類似的。設有一個自變數 x 和一個函式 f，單獨的 x 表示0; 當函式作用一次時，我們得到 f(x)，我們以此代表1。類似的，數字2就是這個函式作用兩次，即 f(f(x))。更普遍的，給定自然數 n, 其對應的邱奇數就是把 f 作用 n 次。如果我們要用程式語言來實現邱奇數，那麼這個程式語言必須支援高階函式（Higher Order Functions）。所謂的高階函式就是可以接受別函式的函式，也可以返回一個函式。要實現高階函式，函式必須可以可以被當成一個值來傳遞。為什麼必須要求高階函式呢？這是因為邱奇數本質上就是函式，作用在邱奇數上的代數操作必然是處理函式，產生函式的函式。

C++中的lambda

C++14標準裡的Generic Lambda是一種函式，它可以當作值傳遞，接受別的lambda表示式作為引數，並且可以返回一個lambda表示式。它最基本的形式是：

這裡我們定義了一個變數square，它的值是一個lambda表示式。一個lambda表示式包含三個部分：

• 捕獲列表：定義一個lambda時，我們有時候希望能用到定義這個lambda時所在的環境裡的其他變數或者值。我們可以把這些放到捕獲列表裡，比如這裡的n。除了通過值捕獲，我們還可以通過引用（reference）來捕獲，其形式是[&n]。
• 引數列表：和普通函式一樣，表示函式的變數。
• 函式體：函式的實現程式碼。如果沒有return語句，函式返回型別是void。

更加詳細的描述可以參照這裡。

邱奇數的lambda表示式

用lambda來表述，每一個數都是一個高階函式，比如0對應的邱奇數：

如前所述，邱奇數是通過一個變數 x 和一個函式 f 來定義的。所以它必然需要兩個引數。在這裡我們用了兩個巢狀的函式來表達。注意在內層的lambda表示式裡我們把=放到捕獲列表裡了，它的意思是把這個函式所在的環境裡的所有變數的值捕獲到內部的lambda表示式裡。因為這個環境裡只有 f，所以[=]等同於[f]。除了捕獲變數的值，我們也可以捕獲變數的引用，即使用[&]。值得注意的是，呼叫這個函式的時候如果只提供一個引數，例如zero("Hey")，它會返回一個函式而不是值。我們也可以直接提供兩個引數，例如zero("Hey")("Jude")，它的返回值是Jude。

對0來說，我們沒有作用 f 到 x 上。那麼我們怎麼來表示1呢。我們把 f 作用在 x 上一次，像這樣：

⚠️這裡 f 必須是一個函式，因為在內部的lambda裡我們把 x 作為變數傳給了 f。

當然我們不可能像這樣把每一個自然數都寫出來，所以我們需要更加普遍的方法來構造邱奇數。最基本的一個操作就是給一個數加一：

add1是一個典型的高階函式。它接受一個邱奇數，返回一個新的邱奇數。在這裡，我們把 f 作用在 n 上，根據邱奇數的定義，它表示 n + 1。有了這個函式，我們就可以從0開始不斷的加一產生一系列的數。比如：

從add1我們可以看出，給一個數加一，就是把 f 作用在其上。很自然的，我們可以把兩個數相加：

可以看到，m + n 就是把 n 作為值傳遞給 m。因為 n 已經把 f 應用了 n 次，如果把 n 作為 m 的變數，m 就會把 f 作用到 n 上 m 次，這樣我們總計應用了 m + n 次。例子：

邱奇數到自然數的轉化

既然邱奇數是自然數的一種表達方式，那麼我們應該可以把邱奇數轉化成自然數。另一個好處，把邱奇數轉化成自然數也可以驗證我們的程式碼是否正確。因為邱奇數對應的自然數就是應用 f 到 x 上的次數，選擇適當的 f 和 x 就可以達到我們的目的。顯然如果我們選擇 x = 0 作為初始值，而 f 每次的呼叫都返回 x + 1，最終的返回值就是 f 被呼叫的次數。所以我們可以定義：

轉化的方法就是把convert傳遞給一個邱奇數：

我們也可以通過邱奇數來多次呼叫一個函式，比如列印一個字串3次：

⚠️邱奇數裡的函式 f 必須接受一個值，並且返回一個同型別的值。

結束語

以上的所有程式碼都可以在這裡獲取。我們僅僅實現了最基本的幾個關於邱奇數的函式。開動腦洞，我們也可以做許多很有趣的事情。比如這裡，作者用Ruby裡的lambda函式實現了FizzBuzz。