環的定義與性質
下面我們定義一種新的代數結構。如果一個集合\(R\)上有兩種二元運算\(+\)與\(\cdot\)分別滿足\((R,+)\)構成一個交換群，\((R,\cdot)\)滿足封閉性和結合律，同時加法對乘法滿足分配律（\(\forall a,b,c\in R,a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c,(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c\)），就稱\((R,+,\cdot)\)構成環(Ring)。
注意到，在環的定義中並沒有要求乘法單位元存在，存在乘法單位元的環稱為有么環。其次，環中的加法始終滿足交換律，但乘法交換律是沒有保證的，所以當我們說“交換環”時特指環中的乘法運算也滿足交換律。在環中，加法單位元記為\(0\)，乘法單位元（如果存在）記為\(1\)。\(R=\{0\}\)是最小的環，稱為零環。
基於環的定義，可以證明以下運演算法則成立：① \(a\cdot 0=0\cdot a=0\)（Pf：根據分配律，\(a\cdot(0+0)=a\cdot0+a\cdot 0\)，而\(0+0=0\)因此\(a\cdot (0+0)=a\cdot 0\)，由加法群的消去律可得\(a\cdot 0=0\)。另一側同理）；② \((-a)\cdot b=a\cdot (-b)=-(a\cdot b)\)，其中\(-a\)是\(a\)的加法逆元（Pf：\((a+(-a))\cdot b=0\cdot b=0\)，因此\((-a)\cdot b=-(a\cdot b)\)；另一側同理）；③ \((-a)\cdot (-b)= a\cdot b\)（Pf：\((-a)\cdot (-b)=-(a\cdot (-b))=-(-(a\cdot b))=a\cdot b\)）；④ 對於至少有兩個元素的有么環，\(1\neq 0\)（Pf：假如\(1=0\)，那麼\(\forall a\in R,a=1\cdot a=0\cdot a=0\)，所以所有元素都是0，與至少有兩個元素矛盾）；⑤ 乘法單位元唯一（Pf：假如有\(1\neq 1'\)，那麼\(1\cdot 1'=1=1'\)，矛盾）。
如果\(a\neq 0,b\neq 0\)，而\(a\cdot b=0\)，我們就稱\(a\)和\(b\)都是零因子(Zero Divisors)（顧名思義它們是“能整除0的數”）。對於有么環\(R\)，如果\(a\in R\)存在乘法逆元，就稱\(a\)為一個unit。例如，\((\Z,+,\cdot)\)是環，它沒有零因子，unit只有\(\pm 1\)；\((\Z_n,+,\cdot)\)是環（加法和乘法都是模\(n\)意義下的），當\(n=4\)時，它的零因子為\(2\)，unit有\(1\)和\(3\)。（把有么環\(R\)中所有的unit收集在一起，這些元素就構成了乘法群。）
環中乘法消去律成立（左消去律與右消去律）當且僅當環中無零因子。左推右，如果存在零因子，那麼\(\exists a,b\neq 0\)使得\(a\cdot b = 0\)，那麼\(a\cdot b = a\cdot 0\)，由消去律可得\(b=0\)，矛盾；右推左，對於\(ab=ac\)，有\(a(b-c)=0\)，由於不存在零因子，一定有\(a=0\)且\(b-c=0\)，因此推出\(b=c\)（同理\(ba=ca\)推出\(b=c\)）。
如果一個環有乘法單位元、乘法滿足交換律、無零因子，就稱它為整環(Integral Domain)。整環是無零因子的有么交換環，或滿足乘法消去律的有么交換環。\((\Z,+,\cdot)\)是整環。